Unidad 6. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS (XIX)

Estimación por el método de los mínimos cuadrados

Las poblaciones desde las cuales hemos extraído muestras aleatorias, presentan una distribución o función de densidad definida por una sola variable aleatoria. En base a ella, la teoría de la estimación puntual ha tratado de encontrar una estadística en la muestra capaz de ser usada como un estimador para cada uno de los parámetros de dicha población; esto es, los modelos poblacionales estudiados usan una sola variable.

Sin embargo, los modelos reales provienen de poblacionales con múltiples variables. Por ejemplo, si hablamos de la función de distribución de los ahorros de una familia, esta variable no sólo dependen de sus ingresos sino también de sus gastos, de su renta, de los impuestos que paga, etc.

De manera que el modelo general para este tipo de poblaciones, podríamos formularla como f(X₁, X₂, …, X_k; θ₁, θ₂, …, θ_k ; e) = 0 .

Una forma simplificada de este modelo puede ser expresado como Y_i = g(X_1i, X_2i, …, X_ki; θ₂, …, θ_k ) + e_i ; i = 1, 2, …, n donde la variable θ₂, …, θ_k son los parámetros a ser estimados y e_i son variables que deben satisfacer las siguientes condiciones:

Estimador mínimo cuadrático

Paso 2: Derivar a esta sumatoria, respecto a cada uno de los parámetros e igualar a 0

Paso 3: Resolver el sistema de k ecuaciones

El conjunto de soluciones obtenidas, constituirán los valores de estimaciones mínimo cuadráticos de los respectivos parámetros.