Unidad 6. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS (XXIX)

Ejemplo 36

La empresa CromoTex está interesada en introducir un nuevo tipo de producto de acero en el mercado limeño. Para medir el nivel de aceptación de los potenciales consumidores, decide realizar un estudio de mercado a una población de 30,000 consumidores potenciales.

Qué tamaño de muestra deberá escoger si desea tener una confianza del 95% de que el error de la estimación de la proporción a favor del nuevo producto no sea superior al 4%?

Si con el tamaño de muestra calculado en a) se usa = 0.70 como estimación de la proporción de todos los consumidores que prefieren su producto. ¿Qué grado de confianza utilizó, si estimó de 19,783 a 22,217 el total de los consumidores de la población que prefieren su producto?

Solución

Según los datos: N = 30000; 1 - α/2 = 0.975 y Z1 - α/2 = 1.96; ε = 0.04; π = 0.5

¿El muestreo es con o sin reposición? Sin reposición

Según esto la fórmula para estimar el tamaño de muestra es:

Reemplazando todos los datos y simplificando se tiene n = 589.

En Excel

Use la hoja n del archivo Tamaño de muestra general e introduzca los datos.

En cuanto a la segunda pregunta, donde p = 0.70,

Según el problema, si N es el total de la población, de los cuales el 70% está a favor del nuevo producto, el total de la población que está a favor del nuevo producto es Np; es decir, 30,000x0.70 = 21,000 habitantes.

Este total a favor del nuevo producto está en el intervalo 19,783 a 22,217.

Según esto, 19,783 < Np < 22,217.

Dividiendo entre N tenemos: 0.659433 ≤ p ≤ 0.7405667

Por otro lado, como el intervalo de confianza debe ser

Reemplazando en las dos ecuaciones: p = 0.70 y n = 589, con α desconocido, encontramos un Z1-α/2 = 2.1484.

Usando Excel, para encontrar 1 - α/2 , se debe usar =Distr.Norm(2.1484,0,1,1, lo que nos devuelve 0.984159.

Luego 1 - α/2 = 0.984159 de donde 1 – α = 0.938618; es decir, el nivel de confianza es del 96.83%.

Ejercicio 01

En un estudio socioeconómico se tomó una muestra aleatoria a 100 comerciantes informales de Gamarra y se encontró lo siguiente: un ingreso medio de $600, una desviación estándar de $50 y sólo el 30% de ellos tienen ingresos superiores a $800.

a) Estimar la proporción de todos los comerciantes con ingresos superiores a $800 usando para ello un intervalo del 98% de confianza.

b) Si la proporción de todos los comerciantes con ingresos superiores a $800 se estima entre 20.06% y 39.94%, qué grado de confianza se utilizó?

Sugerencia:

Usando la hoja IC proporción del archivo Estimación por intervalos, ingrese los datos para resolver la pregunta a). En cuanto a b) use el mismo procedimiento usado en el ejemplo anterior, igualando los extremos, como se hizo en (Eq.).

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