Unidad 6. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS (XXVIII)

Ejemplo 35

Una compañía dedicada al estudio de encuestas de opinión, decidió realizar una encuesta sobre el voto en urna de una determinada población electoral. Para ello tomó una muestra aleatoria de 600 electores que terminaban de votar y encontró que 240 de ellos votaron a favor del candidato de la reelección.

a) Estimar el porcentaje de electores a favor de la reelección en toda la población, usando un nivel de confianza del 95%.

b) Si la proporción a favor de la reelección se estima en 40%, ¿cuánto es el error máximo de la estimación, si se quiere tener una confianza del 98%?

c) Si con la misma muestra la proporción a favor del candidato R se estima en 38% con una confianza del 98% de que el error no es mayor a 4.62%, ¿se puede proclamar al candidato a la reelección como ganador de la contienda?

d) Qué tan grande se requiere que sea el tamaño de otra muestra, si se desea tener una confianza del 94% de que el error de estimación de no sea superior al 2%?

Solución

Sea π: la proporción de electores a favor de la reelección

Y p: la proporción de electores a favor de la reelección en la muestra

Según los datos: n = 600; m = nro. de electores a favor de la reelección = 240, con lo cual diremos que p = 240/600 = 0.40

a) Como sabemos, el intervalo de confianza para una proporción (que asumimos infinita ya que N no es conocido) es

Como el nivel de confianza es del 98% , 1 - α/2 = 0.975 y Z1- α/2 = 1.96

Reemplazando estos datos y simplificando, tenemos:

0.3608 ≤ π ≤ 0.4392

Usando Excel

Abra el archivo Estimación por intervalos y vaya a la hoja IC proporción.

En D4 ingrese el tamaño de la muestra; en D5 ingrese el número de votos a favor (240) y en D7 ingrese el nivel de confianza (en porcentaje).

b) Como el nivel de confianza debe ser del 98%, entonces Z1 - α/2 = 2.32635

Si p = 0.40 y el Error de Estimación es ε = Z21-α7/2√(p(1-p)/n)

Reemplazando valores y simplificando tenemos: ε = 0.046527

En este caso el intervalo de confianza será: 0.40 – 0.0466 < π < 0.40 + 0.0466

Esto es 0.3534 ≤ π ≤ 0.4466

c) Para el candidato R, se tiene p = 0.38; n = 600; Z1 - α/2 = 2.32635; ε = 0.0462

El intervalo correspondiente será:

0.38 - 0.0462 <π< 0.38 + 0.0462  0.3338 ≤ π ≤ 0.4262

Puesto que la intersección de ambos intervalos no es nula, se dice que hay un empate técnico, ya que es probable que la estimación del parámetro en ambos casos, coincida.

d) En este caso para encontrar el tamaño de muestra usaremos la ecuación:

Como el nivel de confianza es el 94% entonces 1 - α/2 = 0.97 y Z1 - α/2 = 1.88079 ε = 0.02 y p = 0.4, de acuerdo a los datos del problema,

El tamaño de una nueva muestra será n = 2122

Nota:

Si no se usa el dato p = 0.4, entonces asumiríamos que p es desconocido, en cuyo caso, tomamos p = 0.5; con lo cual n = 2210.

 

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