Unidad 9. ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA (XV)

9.8 PRUEBA DE INDEPENDENCIA DE CRITERIOS

En muchos casos se desea probar si existe relación entre dos criterios correspondientes a una variable o entre dos categorías de valores correspondientes a una o dos poblaciones.

Por ejemplo: Una tienda comercial está interesada en saber si las ventas semanales de artefactos de cocina tienen alguna relación con el nivel socioeconómico de los consumidores. Con este motivo se tomó una muestra la que se presenta en la siguiente tabla.

Como se puede apreciar, la variable ventas semanales de artefactos se ha dividido en dos categorías: Tipo de artefacto y nivel socioeconómico de los clientes.

Por ello las hipótesis a ser probadas serán:

Ho: La venta de artefactos es independiente del nivel socioeconómico

H1: Existe una relación entre la venta de artefactos y el nivel socioeconómico

Fundamento del método:

Sean X1, X2,…, Xk y Y1, Y2,…, Ym dos conjuntos de valores correspondientes a dos criterios en los que se puede dividir una variable.

Sea pij = P(X = Xi ,Y = yj) la probabilidad de que un elemento de la población corresponda al i-ésimo nivel de criterio X y al j-ésimo nivel del criterio Y.

Del mismo modo, pi = P(X = xi) y, pj = P(Y = yj) serán las probabilidades marginales de X e Y, respectivamente.

Si los criterios X e Y no van a estar relacionados entonces se debe tomar en cuenta que pij = pi*pj para todo i = 1, 2,…, k; j = 1, 2,…, m.

Luego las hipótesis a ser probada será:

Ho: pij = pi*pj i = 1, 2… k; j = 1, 2… m

H1: Existe por lo menos un pij ≠ pi*pj para algún i ≠ j.

Estadístico de la prueba:

Sea Oij el número de elementos que corresponden al i-ésimo criterio X y j – ésimo criterio Y; es decir, Oij será la frecuencia observada.

La siguiente tabla muestra la distribución de la muestra de acuerdo a las dos categorías, lo que se conoce también como una tabla de contingencia.

De acuerdo a esto las estimaciones de las probabilidades marginales serán:

El número de grados de libertad será (k-1)*(m-1) con el cual se podrá obtener el valor crítico con 100α% de nivel de significación.

Criterio de decisión:

Si χ2C > χ21-α (k-1)(m-1) se rechazará la hipótesis nula

 

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