Sea ζ un experimento y Ω el espacio muestral asociado a η. Sean A y B dos eventos de &Omega. Diremos que A y B son eventos independientes si P(A/B) = P(A) ó P(B/A) = P(B) En otras palabras, si la ocurrencia o no de un evento no afecta a la ocurrencia de otro, diremos, que dichos eventos son independientes, en el sentido estadístico. Esto no quiere decir que los eventos sean mutuamente excluyentes.
Teorema
Sea Ω el espacio muestral asociado a ζ. Si A y B dos eventos independientes de Ω. Entonces P(A ∩ B) = P(A) P(B)
En efecto.
De P(A / B) = P(A ∩ B / B), obtenemos P(A ∩ B) = P(B) P(A / B) = P(A) P(B).
Puede deducirse también tomando en cuenta la otra forma condicional.
Teorema
Sean A y B dos eventos del espacio muestral Ω, asociados a ζ. Si A y B son eventos independientes, entonces
i) los eventos A y B’ son independientes
ii) los eventos A’ y B son independientes
iii) los eventos A’ y B’ son independientes
Teorema
Sean A, B y C tres eventos del espacio muestral Ω, asociados a ζ. Diremos que los tres eventos son mutuamente independientes si se cumple las siguientes condiciones:
i) P(A ∩ B) = P(A)P(B)
ii) P(A ∩ C) = P(A)P(C)
iii) P(B ∩ C) = P(B)P(C)
iv) P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C)
Teorema
Si A1, A2, A3,…, An, son eventos independientes dos a dos, entonces P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ; … ∩ An ) = P(A1)P(A2)P(A3) …P(An)
Ejemplo 39
Si P(A) = 1/6, P(AB) = 1/18, P(B) = 1/3. ¿Son A y B eventos independientes?
Solución
Según el teorema, dos eventos A y B son independientes si P(AB) = P(A)P(B).
Verifiquemos si esto se cumple con los datos:
Como P(AB) = 1/18
Y P(A)P(B) = 1/6 x 1/3 = 1/18.
Entonces A y B son dos eventos independientes.
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