Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XXIII)

Ejemplo 40

Una urna contiene 4 bolas blancas y 5 negras. Se extraen sucesivamente y sin reposición dos bolas. Sean los eventos:

A: “La primera bola extraída es negra”

B: “La segunda bola extraída es blanca”

¿Son los eventos A y B, independientes?

Solución

Como en el ejemplo anterior, si P(AB) = P(A)P(B), entonces son eventos independientes. Pues bien, P(A) = 5/9. La ocurrencia de B depende del resultado de la primera extracción. Por ello, debemos trabajar con la probabilidad condicional, P(B/A).

En efecto, P(B / A) = P( A ∩ B) / P(A);   de donde P(A B) = P(A) P(B) = 5/9 x 4/8 = 5 / 18.

Por otro lado, ocurre blanca(es decir, ocurre B) sea por que salió blanca o negra en la primera; es decir, B = A ∩ B ∪ A’ ∩ B.

De donde P(B) = P(AB) + P(A’B)

      = P(A)P(B/A) + P(A’)P(B/A’)

      = 5/9x4/8 + 4/9x3/8 = 4/9

Como P(A)P(B) = 5/9x4/9 = 20/81 y P(AB) = 5/18, entonces A y B no son independientes

Ejemplo 41

Cuatro hombres lanzan, cada uno, un dado. Cuál es la probabilidad de que:

a) cada uno obtenga un cuatro

b) cada uno obtenga un número par de puntos

c) todos obtengan el mismo número de puntos

Solución

a) Sea Ai el evento “El i-ésimo hombre obtiene un cuatro”

Para que cada uno obtenga un cuatro, debe ocurrir el evento compuesto; A₁A₂A₃A₄

Puesto que el resultado del lanzamiento del segundo hombre no depende de lo que haya ocurrido con el resultado del primero, entonces ambos eventos son independientes. Esto es cierto con los cuatro hombres. Por lo que

P(A₁A₂A₃A₄ ) = P(A₁)P(A₂) P(A₃)P(A₄) = (1/6)⁴ = 1/1296

b) Sea Ai el evento “El i-ésimo hombre obtiene un número par de puntos”

En este caso también los resultados de cada lanzamiento son independientes uno de otro.

Sólo que, a diferencia de a), la probabilidad individual cambia ya que P(Ai) = 3/6 =1/2.

Luego P(A₁A₂A₃A₄ ) = P(A₁)P(A₂) P(A₃)P(A₄) = (1/2)4

c) Sea B el evento “Los cuatro hombres obtienen el mismo número”

Si lanza el dado el primer hombre, la probabilidad de que obtenga un número cualquiera, es 1. Ahora bien, supongamos que el número obtenido es x, para x = 1, 2, 3, 4, 5, 6. La probabilidad de que el segundo obtenga dicho número es 1/6; de que cada uno de los tres obtenga dicho número es 1/6. Luego, la probabilidad de que los tres hombres obtengan el número x, obtenido por el primero será (1/6)³. Ejemplo 42

Ocho boletos numerados: 111, 121, 122, 122, 211, 212, 212, 221 son colocados en una bolsa y luego revueltas. Se va a escoger uno al azar. Si se definen los siguientes eventos:

A: “El primer dígito del boleto escogido es 1”

B: “El segundo dígito en el boleto escogido es 1”

C: “El tercer dígito en el boleto escogido es 1”

a) ¿Son los eventos A, B y C independientes entre sí?

b) Calcular P(A ∪ B/B ∩ C)

Solución

a) Para que A, B y C, sean independientes entre sí, se debe cumplir

i) P(AB) = P(A) P(B)

ii) P(AC) = P(A) P(C)

iii) P(BC) = P(B) P(C)

Según los datos, P(A) = 1/2 ; P(B) = 1/2 ; P(C) = 1/2

Por otro lado P(AB) = 1/8; P(AC) = 2/8; P(BC) = 2/8

Verificando las igualdades, i), ii) y iii), encontramos que los eventos A y C son independientes, así como B y C, pero A y B no son independientes; por tanto los tres eventos no son independientes entre sí.

b) P(A ∪ B / B ∩ C) = P( (A ∪ B) ∩ (B ∩ C)) / P(B ∩ C) = P(ABC ∪ BC) / (2/8) )= (1/8 + 2/8 - 1/8) / (2/8) = 1