Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XXIV)

Ejemplo 43

Suponga que un misil tiene la probabilidad 1/2 de destruir su blanco y la probabilidad 1/2 de no destruirlo. Suponiendo que el lanzamiento de los misiles forman pruebas independientes, determínese el número de misiles que debe lanzarse para conseguir que la probabilidad de destruir el blanco sea por lo menos de 0.99. Solución

Supongamos que es necesario realizar “r” pruebas para alcanzar por lo menos 0.99 de probabilidad de destruir el blanco.

Si D el evento “El blanco queda destruido” entonces

D = E ∪ FE ∪ FFE ∪ FFFE ∪ FFF...FE, entendiendo que en el último término de la igualdad, ocurren “r-1” fracasos y el “r-ésimo” es exitoso.

Por los datos del problema, P(D) ≥ 0.99

De la igualdad, P(D) = P(E) + P(FE) + P(FFE) + P(FFFE) + ... + P(FFF...FE)

Es suficiente que

0.99 ≤ 1/2 +(1/2)(1/2)+(1/2)2(1/2)+(1/2)3(1/2)+…(1/2)(r-1)(1/2)

        ≤ 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + 0.015625 + 0.0078125

lo que corresponde al lanzamiento de 7 misiles, por lo menos.

Ejemplo 44

¿Cuántas personas deben escoger una carta, cada una de diferente baraja, para tener una probabilidad mínima de 0.90 de que, por lo menos se escoja un as?

Solución

Bien sabemos que una baraja de cartas tiene 52 cartas. Hay cuatro ases. Luego, si una persona cualquiera toma una carta de una baraja, la probabilidad de que extraiga un as, es 4/52 = 1/13.

Sean los eventos

A: “Una determinada persona extrae un as”

B: “Las otras personas no extraen un as”

C: “Se obtiene por lo menos un as”

Según el ejemplo, con todas las personas se debe extraer, por lo menos un as. Esto quiere decir que, si fueran 10 personas, sólo una de ellas podría extraer un as y las otras no, que dos de ellas extraigan un as y las otras no, o que haya 8 personas que extraen un as y las otras dos, no; etc. En otras palabras debe ocurrir el siguiente evento.

Una sola persona extrae un as con P(A) = 1/13

Dos personas extraen por lo menos un as según el evento C = AB + BA + AA con

P(C) = P(AB) + P(BA) + P(AA) = C(2,1)(1/13)(12/13)+C(2,2)(1/13)²= 2x1/13 x 12/13+(1/13)²

Con tres C = ABB + BAB + BBA + AAB + ABA + BAA + AAA, por lo menos un as.

En este caso

desarrollando esta serie debemos encontrar el valor de n.

Una manera de resolverlo sin usar series de potencia es mediante una hoja de cálculo con lo cual se puede encontrar el valor de n = 28.