Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XXV)

Ejemplo 45

Se dispara cada uno de los fusiles A, B y C; las probabilidades de dar en el blanco es 0.15, 0.25 y 0.35, respectivamente. Calcular la probabilidad de que

a) al menos uno de los tres dé en el blanco

b) acierte uno sólo

Solución

Sean los eventos

A: “El fusil A da en el blanco”           con P(A) = 0.15

B: “El fusil A da en el blanco”           con P(B) = 0.25

C: “El fusil A da en el blanco”           con P(C) = 0.35

a) Sea X: “Uno de los tres fusiles A, B ó C da en el blanco”

Debemos recordar que el hecho que un fusil dé o no en el blanco, no afecta a los otros.

Entonces P(X ) = P(A  B  C ) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Pero también, P(X) = 1 – P((A  B  C)’) = 1 – P(A’)P(B’)P(C’)

          = 1 – (0.85)(0.75)(0.65)

          = 0.585625

b) Sea X: “Sólo uno de los tres fusiles acierta en el blanco”

En este caso X = AB’C’ + A’BC’ + A’B’C, de donde

    P(X) = P(A)P(B’)P(C’) + P(A’)P(B)P(C’) + P(A’)P(B’)P(C)

          = 0.15x0.75x0.65 + 0.85x0.25x0.65 + 0.85x0.75x0.35

          = 0.434375

Ejemplo 46

Un antiguo teatro tiene un solo proyector. La bombilla del proyector funciona; la probabilidad de que se queme antes de terminar la película es 0.40. De las 20 lámparas de reserva, una de ellas tiene un defecto no visible. De las restantes, la probabilidad de que se quemen antes de terminar la película es 0.20.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se queme la lámpara en funcionamiento y seleccionada al azar una extra, se escoja la lámpara defectuosa?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se queme la lámpara en funcionamiento y seleccionada una perfecta para reemplazarla, se queme a su vez antes de terminar la película?

Solución

Definamos los eventos:

A: “La lámpara en funcionamiento se quema antes de terminar la película”

B: “La lámpara seleccionada de reserva es la defectuosa”

C: “La lámpara seleccionada no defectuosa, se quema antes de terminar la película”

a) Si definimos el evento D: “Se quema la lámpara en funcionamiento y se escoge de las de reserva, la defectuosa”, entonces D = A  B. Debemos hallar P(D). Como A y B son eventos independientes y como P(A) = 0.40 y P(B) = 1/20, tenemos

P(D) = P(A ∩ B) = P(A)P(B) = 0.40 x (1/20) = 0.02

b) Aquí se pide encontrar P(A  C). Como en el caso a), el hecho de que la lámpara en funcionamiento se queme o no, en nada influye a que cualquiera de las 19 perfectas de reserva, se queme también antes de terminar la película. Por ello A y C son independientes. Según esto P(A) = 0.40, por datos; la ocurrencia de C implica la ocurrencia de dos subeventos: Seleccionar una perfecta de los de la reserva, cuya probabilidad es 19/20, y que se queme antes de terminar la película, con probabilidad 0.20. Por lo que

P(A ∩ C) = P(A)P(C) = 0.40 x 19/20x 0.20 = 0.076.