Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XXVI)

Ejemplo 47

Una persona A padece una cierta enfermedad; consultado los médicos, las opiniones están en la relación de 9 a 7 en contra de que la persona viva cinco años más. Otra persona B tiene 45 años, y las opiniones están en la relación 3 a 2 en contra de que viva hasta los 5años más. Hallar la probabilidad de que cuando menos una de estas personas viva cinco años más.

Solución

Sean los eventos:

A: “La persona A, viva cinco años más” y

B: “La persona B, viva cinco años más”;

C: “Por lo menos una de las dos personas vive cinco años más”

Debemos encontrar la probabilidad del evento C, el cual lo definimos como C = A ∪ B. En efecto, P( C) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B), en donde A y B son independientes.

P( C) = 7/16 + 2/5 – (7/16)(2/3) = 53/80 = 0.6625

Ejemplo 48

Una pieza de un equipo electrónico tiene tres partes esenciales. Anteriormente la parte A ha fallado el 20% del tiempo; la parte B, 40% del tiempo y la parte C, 30% del tiempo. La parte A opera independientemente de las partes B y C. Las partes B y C están interconectadas, de tal manera que la falla de cualquiera, afecta a la otra; por ello, cuando falla la parte C, dos de cada tres veces puede también fallar la parte B.

Supongamos que por lo menos dos de las tres partes deben operar para permitir el funcionamiento del equipo. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo funcione?

Solución

Sean los eventos:

A: “Falla la parte A” P(A) = 0.2

B: “Falla la parte B” P(B) = 0.4

C: “Falla la parte C” P(C) = 0.3

Además se sabe que P(B/C) = 2/3

Sea D el evento “Funcionan por lo menos dos de las partes”

Decir que funcionan, por lo menos dos, significa que funcionan dos o tres.

- Funcionan dos partes puede ser expresado por: A’ ∩ (B’ ∪ C’)

- Funcionan tres partes puede ser expresado por: A’ ∩ B’ ∩ C’ Luego D = A’ ∩ (B’ ∪ C’) ∪ A’ ∩ B’ ∩ C’

Los dos eventos de la derecha son excluyentes, por lo que

P(D) = P(A’ ∩ (B’ ∪ C’) ) + P( A’ ∩ B’ ∩ C’ )

P(A’ ∩ (B’ ∪ C’) ) = P([A ∪ (B ∩ C)]’ ) = 1 – { P(A) + P(B ∩ C) – P(A ∩ (B ∩ C))}

          = 1 – { 0.2 + P(C)P(B/C) – P(A)P(C)P(B/C)} = 0.64

P(A’ ∩ B’ ∩ C’ ) = 1 – P(A ∪ B ∪ C ) = 1 – {P(A) + [P(B &∪ C)] – P(A ∩ ( B ∪ C)}       =1 – {0.2 + [0.4 + 0.3 – 0.2(0.3)(2/3)] – (P(AB)+P(AC)-P(ABC))}

            = 0.2

Luego P(D) = 0.64 + 0.2 = 0.84