Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XXVII)

Ejemplo 49

La probabilidad de que un cazador dé en el blanco en un disparo cualquiera es 0.40.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que falle en cuatro tiros consecutivos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que dé en el blanco por lo menos una vez en 4 tiros consecutivos?

c) ¿Cuántos tiros debe disparar para tener una seguridad aproximadamente de 0.95 de dar en el blanco por lo menos una vez?

Solución

Sea B el evento: “El cazador da en el blanco con un disparo”.

a) Falla cuatro veces si ocurre el evento compuesto A = B’ ∩ B’ ∩ B’ ∩ B’. Como los disparos son independientes uno de otro,

P(A) = P(B’ ∩ B’ ∩ B’ ∩ B’) = [P(B’) ]⁴ = 0.6⁴ = 0.1296

b) Sea C el evento “Da en el blanco por lo menos una vez en cuatro tiros”

De acuerdo a la definición del evento C, podemos decir que C’ es el evento “Da en el blanco cero veces”. Y según la definición de eventos, C ∪ C’ = Ω.

Ahora bien, P(C) =P(A) = 0.1296, obtenido en el inciso a).

Por ello, P(C’) = 1 – P(C) = 1 – 0.1296 = 0.8704

c) Si Bi es el evento “Da en el blanco en i-ésimo disparo”, entonces se debe cumplir lo siguiente

P(B I ó B i  B 2 ó B I  B 2 B i ó B I  B 2  B 3  B 4 ó …) = 0.95

Desarrollando por partes el primer miembro, tenemos

En un tiro: P(B I) = 0.4

En dos tiros: P( B I B 2 ‘ó B I ‘B 2 ó B I B 2) = 2(0.4(0.6)) + 0.16 = 0.64

En tres tiros: Sumando las siguientes opciones, tenemos 0.784.

3x P(Dé una vez en el blanco y los otros no) = 3(0.4)(0.36) = 0.432

3x P(Dé dos veces en el blanco y uno de ellos no) = 3(0.16)(0.6) = 0.288

P(Dé las tres disparos en el blanco) = (0.4)(0.4)(0.4) = 0.064

Nota:

Si definimos el evento R: “En tres disparos dar cero veces en el blanco” entonces P(R) = 0.6(0.6)(0.6) = 0.216. De donde P(R’) = P(Dar en el blanco por lo menos una vez en tres disparos) = 1 – P(R) = 0.784

En cuatro disparos: Usando la nota anterior:

La probabilidad pedida será = 1 – (0.6)4 = 1 - 0.1296 = 0.8704

En cinco disparos tendremos:

La probabilidad pedida será = 1 – (0.6)5 = 1 - 0.07776= 0.92224

En seis disparos tendremos:

La probabilidad pedida será = 1 – (0.6)6 = 1 - 0.046656= 0.953344

Con lo cual concluimos que el número de disparos necesarios para dar en el blanco, por lo menos una vez, debe ser 6 de suerte que se tenga la probabilidad de 0.95 de que eso ocurra.