Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XXVIII)

Ejemplo 50

Un sistema consiste de cuatro componentes: A, B, C y D. Las probabilidades de falla son 0.01, 0.02, 0.10 y 0.10 para A, B, C y D, respectivamente. Si para el funcionamiento del sistema son necesarios los componentes A y B y al menos uno de los componentes C o D, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?

Solución

Sea F el evento “El sistema funciona”. Este evento se produce si ocurre el siguiente evento compuesto: A ∩ B ∩ ( C ∪ D ).

En consecuencia P( F ) = P(A ∩ B ∩ ( C ∪ D ))

          = P(A) P(B) P( C ∪ D )

          = (0.99)(0.98)[1 – P(C’  D’)]           = (0.99)(0.98)(1 – 0.01)

          = 0.960498.

Ejemplo 51

Considere tres urnas. La urna I contiene una bola blanca y dos negras; la urna II contiene tres bolas blancas y dos negras; la urna III contiene dos blancas y tres negras. Se extrae una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que entre las bolas extraídas haya

i) una blanca y dos negras

ii) por lo menos dos negras

iii) más negras que blancas

Solución

Supongamos que

Bi es el evento “Se extrae una bola blanca de la i-ésima urna”

Ni es el evento “Se extrae una bola negra de la i-ésima urna”

Definamos también los eventos X, Y y Z de la siguiente manera:

X: “Se extrae una bola blanca y dos negras”

Y: “Se extrae por lo menos dos bolas negras”

Z: “Se extrae más negras que blancas”

i) El evento X puede ser definido como X = B1 N2 N3 + N1 B2 N3 + N1 N2 B3

P(X) = P(B1 N2 N3 ) + P(N1 B2 N3 ) + P(N1 N2 B3 ) = 1/3 (2/5)(3/5) + (2/3)(3/5)(3/5) + (2/3)(2/5)(2/5)= 0.42666667

ii) El evento Y se define como Y = B1 N2 N3 + N1 B2 N3 + N1 N2 B3 + N1 N2 N3

Por lo menos dos negras, significa que puede obtenerse dos o tres negras. Luego

P(X) = P(B1 N2 N3 ) + P(N1 B2 N3 ) + P(N1 N2 B3 ) + P(N1 N2 N3 ) = 1/3 (2/5)(3/5) + (2/3)(3/5)(3/5) + (2/3)(2/5)(2/5)+(2/3)(2/5)(3/5)= 0.58666667 iii) El evento Z es equivalente al evento Y ya que las únicas formas en las que el número de bolas negras extraídas es mayor que las bolas blancas extraídas es cuando Z = Y

Luego P( Z ) = P( Y ) = 0.5866667