Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XXIX)

Ejemplo 52

Una urna contiene 12 bolas, de las cuales 7 son negras y 5 son blancas. Se extraen dos bolas y se devuelven a la urna. Se vuelven a sacar dos bolas y se devuelven a la urna. El experimento continúa hasta hacer 5 extracciones.

a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolas negras en cada uno de los tres primeros experimentos y una pareja de una blanca y una negra en los últimos dos experimentos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos bolas negras tres veces y las otras dos veces, dos blancas?

Solución

El esquema de la figura anterior nos muestra la urna con 5 bolas blancas y 7 negras, y las cinco extracciones realizadas, con las diferentes posibilidades de pares de bolas a extraerse.

a) Sea X el evento: “Obtener dos negras en las tres primeras extracciones y una blanca con una negra en las dos últimas extracciones”. En el esquema también apreciamos en color azul los eventos que deben ocurrir para que ocurra X. Esto implica que

P(X) = P(NN ∩ NN ∩ NN ∩ (NB ∪ BN)) = [(7/12)(6/11)]³[(5/12)(7/11)+(7/12)(5/11)]² = (7/22)³ (35/66)²

b) Sea R el evento “Obtener dos bolas negras tres veces y dos blancas las otras dos”.

La ocurrencia de R puede darse en varias instancias: {NN NN NN xx xx }, {NN NN xx NN xx }, {xx NN xx NN NN }, entre otras. En cada uno de estas secuencias “xx” representa cualquier combinación de B con N. El número total de estas instancias es 10.

Obengamos la probabilidad de una cualquiera de ellas: P(R) = P({NN NN NN xx xx }) = 10 x [(7/12)(6/11)]³ [(5/12)(4/11)]².

Ejemplo 53

La producción diaria de una máquina que produce una pieza muy complicada da las siguientes probabilidades para el número de piezas producidas:

p({1}) = 0.10, p({2}) = 0.30, p({3}) = 0.60.

Por otro lado, la probabilidad de producir piezas defectuosas es 0.3. Las piezas defectuosas pueden aparecer independientemente durante el proceso de producción. En un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de no se hayan producido piezas defectuosas?

Solución

Sean los eventos

A: “La máquina produce una pieza complicada” &nbsp: &nbsp: &nbsp: &nbsp: P(A) = 0.1

B: “La máquina produce dos piezas complicadas” &nbsp: &nbsp: &nbsp: &nbsp: P(B) = 0.3

C: “La máquina produce tres piezas complicadas” &nbsp: &nbsp: &nbsp: &nbsp: P(C) = 0.6

N: “La máquina produce una pieza no defectuosa” &nbsp: &nbsp: &nbsp: &nbsp: P(N) = 0.97

D: “La producción del día no registra defectuosos”

Debemos hallar.

Si se produce una pieza entonces P(N) = P(A)P(N) = 0.1x0.97 = 0.097

Si se produce dos piezas entonces P(N) = P(A)P(N)P(N) = 0.1x0.97x0.97

        = 0.282270 Si se produce tres piezas entonces P(N) = P(A)P(N)3 = 0.1x0.973

        = 0.5476038 En consecuencia la probabilidad de que no se produzca piezas defectuosas en un día determinado es 0.097 + 0.282270 + 0.5476038 = 0.92687