Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XXX)

Ejemplo 54

Si una máquina que produce engranajes está trabajando correctamente, el 92% de las piezas satisfacen las especificaciones. Si la máquina no trabaja bien, sólo el 60% de los engranajes producidos satisfacen las especificaciones. La máquina trabaja correctamente el 90% del tiempo. Se seleccionan 4 engranajes y todos satisfacen los requerimientos. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina no haya estado trabajando bien?

Solución

Sean los eventos

T: “La máquina trabaja correctamente”

S: “El engranaje producido satisface los requerimientos”

Según los datos debemos encontrar P(T’ / S ), es decir, la probabilidad de que no haya estado trabajando correctamente, dado que los engranajes producidos satisfacen los requerimientos.

Por el teorema de Bayes tenemos

Ejemplo 55

Un fabricante está considerando comprar un lote grande piezas de un proveedor. El fabricante estima la proporción de piezas defectuosas en el lote de la siguiente forma:

Suponga que se elige tres piezas al azar del lote

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres piezas sean de calidad aceptable?

b) Si las tres piezas resultaron de calidad aceptable, ¿cuál es la probabilidad de que el lote contenga 10% de piezas defectuosas?

Solución

Sean los eventos:

P1: “La pieza proviene de la proporción de 10% defectuosas”

P2: “La pieza proviene de la proporción de 15% defectuosas”

P3: “La pieza proviene de la proporción de 25% defectuosas”

A : “La pieza es de calidad aceptable”

T : “Las tres piezas son de calidad aceptable”

El diagrama de árbol de la figura 3.33 muestra las características del problema

En este diagrama los ramales del primer nodo sólo toman en cuenta la proporción de defectuosos de cada sublote más no los no-defectuosos; que serán de 90%, 85% y 75%, respectivamente. De acuerdo al problema, debemos hallar primero, en a) la probabilidad de que sean aceptables las tres piezas; es decir P(A) y en b) debemos hallar P(P1/A); es decir , la probabilidad de que las piezas provengan del grupo de los de 10%.

Por otro lado, para los propósitos del problema, no interesan. Puesto que se eligen tres piezas aleatoriamente y se desea que las tres sean aceptables, tenemos entonces la repetición del experimento “Elegir una pieza” tres veces. Los eventos que se generan son eventos independientes por lo que el resultado que obtengamos debe ser multiplicado tres veces.

a) Tomando en cuenta las consideraciones anteriores, tenemos

P(T) = [ P(A) ]³

= (P(P1)P(A/P1) + P(P2)P(A / P2) + P(P3) P(A / P3))³ = 0.105625.

b) Según lo dicho en los considerandos,