Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XXXI)

Ejemplo 56

De tres eventos A1, A2, A3 se sabe que son mutuamente independientes; que la probabilidad de la ocurrencia del primero es el doble de la ocurrencia del segundo; que la probabilidad de la ocurrencia simultánea de los dos primeros eventos es 0.02; y que la probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos, es 0.64. Calcular la probabilidad de la ocurrencia de cada uno de dichos eventos.

Solución

Debemos encontrar P(A1), P(A2) y P(A3 ).

Por los datos del problema sabemos que:

P(A1) = 2 P(A2) y que

P(A1 ∩ A2) = 0.02

Puesto que los eventos son mutuamente independientes entonces

P(A1 ∩ A2) = 0.02 = P(A1) P(A2) = P(A1) P(A2) = 2[P(A2)]².

De donde P(A2) = 0.1 y también P(A1) = 0.2

Por otro lado, el evento “Por lo menos uno” con tres eventos se expresa como A1 ∪A2 ∪A3 . Luego P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = 0.64. Si por lo menos uno tiene probabilidad de ocurrencia de 0.04 entonces la probabilidad de que ninguno ocurra(ocurra cero) es 0.36. En otras palabras

Si P(A1A2A3 ) = 0.64 , entonces P(A1‘ A2‘A3 ‘) = 0.36. Usando esto último, tenemos

0.36 = P(A1‘ ∩ A2‘ ∩ A3 ‘) = P(A1‘) P(A2‘ ) P(A3 ‘) = 0.8x0.9x P(A3 ‘), simplificando y despejando, obtenemos P(A3 ‘) = 0.5

Ejemplo 57

Un aparato tiene cuatro válvulas que funcionan independientemente, sus probabilidades de falla son respectivamente, 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4 para la primera, segunda, tercera y cuarta válvula. Se sabe que dos de estas válvulas han fallado. Hallar la probabilidad de que hayan fallado la primera y la segunda válvulas.

Solución

Sea F el evento “Una válvula determinada falla” y

N, “Una válvula determinada no falla”

Con cuatro válvulas en las que dos de ellas fallen, podemos tener las siguientes posibles combinaciones, donde el orden representa el número de válvula:

F F N N,       F N F N,       F N N F,       N F N F,       N F F N,       N N F F

Si definimos al evento A como “Fallan dos de las cuatro válvulas” , entonces

A = { F F N N, F N F N, F N N F, N F N F, N F F N, N N F F } , y si ahora definimos a B como el evento B = { FFNN}, de acuerdo a la pregunta, debemos encontrar la probabilidad de que hayan fallado las dos primeras válvulas, si se sabe que han fallado dos de las cuatro válvulas; es decir, P(B/A).

Encontremos primero P(A).

P(A) = P({FFNN})+P({FNFN})+P({FNNF})+P({NFNF})+P({NFFN})+P({NNFF})

= 0.1x0.2x0.7x0.6+0.1x0.8x0.3x0.6+0.1x0.8x0.7x0.4+0.9x0.2x0.30.6+0.9x0.8x.3x.4

=0.2144

Usando el teorema de Bayes, tenemos P(B / A) = P(A ∩ B / A) = P(B) / P(A) = (0.1)(0.2)(0.7)(0.6) / 0.2144 = 0.0391791