Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XXXII)

Ejemplo 58

Se lanza una moneda repetidamente hasta que salga cara. Si Ud. es la persona que juega, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga cara alguna vez?

Solución

Este es un modelo de experimentos que se repiten indefinidamente y que generan por tanto, espacios muestrales infinitos.

Sea A el evento “Ganar el juego”

El esquema de la figura 3.34 refleja la posible secuencia del juego.

Cada vez que salga sello, S, se vuelve a lanzar la moneda. En el momento que sale cara, termina el juego.

Luego, algunos de los elementos del espacio muestral Ω son

Ω = {C, SC, SSC, SSSC, SSSSC, SSSSSC, ......}, sin duda, un espacio muestral infinito.

Como el evento A se define como “Ganar el juego”, entonces A = Ω. Encontremos la probabilidad de A (suponemos que debe ser 1, por lo que ya sabemos).

Como se trata de eventos independientes, entonces

Nota:

Puesto que se trata de experimentos aleatorios infinitos, el espacio muestral , asociado a dichos experimentos, debe ser también infinito, salvo si algún(os) resultado(s) se repitiera(n) indefinidamente.

Del mismo modo, podemos estar interesados en evaluar la probabilidad de eventos infinitos, como es el caso de este problema. Para hallar dicha probabilidad debemos resolver una suma de términos que cae en el terreno matemático de las series de potencia; sean estas finitas o infinitas.

Según la evaluación de series infinitas en matemática se sabe que, bajo ciertas condiciones, como que la razón “r”, de la serie debe ser r  ½ , en cuyo caso

Por ello en el problema anterior hemos hecho r = ½.