Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD (XXXIII)

Ejemplo 59

Se trata ahora de lanzar un dado y una moneda. Si sale un seis, se gana y termina el juego, de otra manera, se lanza una moneda. Si sale cara, se pierde y termina el juego; si sale sello se vuelve a tirar el dado. Esto se repite indefinidamente hasta ganar(que salga un seis). Encuentre la probabilidad de ganar el juego.

Solución

Globalmente tomemos en cuenta que primero se lanza el dado y después la moneda. Esto se repite indefinidamente. El esquema siguiente muestra el experimento.

Cada vez que se lanza la moneda, el resultado del lanzamiento del dado fue un número diferente de 6.

Sean los eventos

A: “Sale un 6”         P(A) = 1/6

N: “Sale un número diferente de 6”       P(N) = 5/6

S: “Sale sello”           P(S) = 1/2

C: “Sale cara”             P(C)= ½

G: “Ganar el juego”             P(G) es lo que debemos encontrar

El espacio muestral está definido como

Ω = {A, NC, NSA, NSNC, NSNSA, NSNSNC, NSNSNSA, ...}

El evento G contendrá sólo a los elementos que terminan en A y contengan series de NS, es decir

G = {A, NSA, NSNSA, NSNSNSA, ...}

Luego

Ejemplo 60

Tres jugadores A, B y C, lanzan al aire un dado, en ese orden. Empieza el jugador A. Gana el jugador que obtiene un 3 ó un 4. El juego continúa hasta que uno de ellos gane. Encuentre la probabilidad de ganar de cada uno de ellos.

Solución

Sean los eventos

A: “Gana el jugador A”

B: “Gana el jugador B”

C: “Gana el jugador C"

Nomenclatura:

G_A; significa que el jugador A gana dicha jugada al haber obtenido un 3 ó un 4.

G_B significa que el jugador B gana dicha jugada al haber obtenido un 3 ó un 4.

G_C significa que el jugador C gana dicha jugada al haber obtenido un 3 ó un 4.

Según el problema, las probabilidades de ganar de cada uno de ellos, cada vez que juegan es

P(G_A ) = 2/6 = 1/3

P(G_B ) = 2/6 = 1/3

P(G_C ) = 2/6 = 1/3

A, B y C pueden ganar en cualquiera de las siguientes situaciones:

A={ G_A , P_A P_B P_C G_A , P_A P_B P_C P_A P_B P_C G_A , .... }

B={ P_A G_B , P_A P_B P_C P_A G_B , P_A P_B P_C P_A P_B P_C P_A G_B , .... }

C={ P_A P_B G_C , P_A P_B P_C P_A P_B G_C , P_A P_B P_C P_A P_B P_C P_A P_B G_C , .... }

Tomando probabilidades, la probabilidad de que gane A