Unidad 3. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD ()

Ejemplo 61

Un jugador arroja dos dados. Si en su primera jugada obtiene un total de 7 ú 11 puntos, gana el juego, si en esta primera jugada obtiene un total de 2, 3 ó 12, pierde el juego, por el contrario, si obtiene un total de 4, 5, 6, 8, 9 ó 10 puntos, continúa jugando hasta obtener el puntaje que obtuvo en la primera jugada, o hasta obtener un total de 7. En el primer caso gana y en el segundo(obtener un total de 7) pierde el juego. ¿Cuál es la probabilidad de que gane?

Solución

El esquema de la figura 3.37 pretende reflejar lo que puede suceder al realizarse el juego.

Describámoslo:

En el primer lanzamiento puede salir:

i) Un 7 ú 11 con probabilidad = 2/9, en cuyo caso se gana

ii) Un 2, 3, ó 12 con probabilidad = 1/9, en cuyo caso se pierde

iii) Un 4, 5, 6, 8, 9 ó 10 con probabilidad = 1/12, 1/9, 5/36, 5/36, 1/9, 1/12; opciones en las que se sigue jugando hasta obtener uno de estos números en cuyo caso se gana. Y se pierde cuando sale un 7. Si salió un 4, p(x) = 1/12, etc.

Entremos en detalle:

Si en la primera salió un 4 con p(4)=1/12, el segundo cuatro puede salir en la segunda jugada, con p(x) = (1/12)(1/12); saldrá en la tercera siempre que en la segunda no salga un 7, esto ocurre con p(x) = (1/12)(9/12)(1/12); es decir, la probabilidad de que salga en la primera un 4, es 1/12, de que no salga un 4 en la segunda es 11/12 menos la probabilidad de que no salga el 7 (11/12 – 1/6 = 9/12) y que salga el segundo 4 en la tercera, con probabilidad 1/12.

La serie que se genera para ganar con 4 es la siguiente: