Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 168

Se extraen al azar 2 cartas de un naipe de 52 cartas, sin reemplazo. Sea X el número de ases que aparece e Y el número de espadas.

Obtener la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y)

Obtener las distribuciones marginales de X e Y

Evalúe P( X > Y )

Solución

Definamos a X como “El número de ases que se extraen” e Y como “El número de espadas extraídas”, según el problema. Esto significa que X toma valores: 0, 1, 2 ; así como Y toma 0, 1 y 2. Con esto, el espacio rango de (X, Y) es fácil encontrarlo(el producto cartesiano).

Encontremos las probabilidades individuales:

p(0, 0) = P(X = 0, Y = 0) . Como se trata de extraer 0 ases de un total de 4, el número de maneras de obtenerlo es C(4,0).

Igualmente, 0 espadas se extrae de C(12,0) maneras. Hemos quitado una espada ya que el as de espadas no debe ser tomado en cuenta.

Hasta este punto, tenemos 0 ases + 0 espadas ; pero como se extraen 2 cartas, seguramente las cartas que “faltan” (las dos), deben ser cualquiera del naipe; estas se extraen de C(36, 2) maneras.

Luego: el número de maneras de extraer 0 ases “y” 0 espadas “y” 2 cartas cualquiera es C(4, 0) x C(12, 0) x C(36, 2), lo que constituye “el número de casos favorables a extraer 0 ases y 0 espadas. Por otro lado, el número de casos posibles de extraer 2 cartas viene dado por C(52, 2).

Por ello

p(1, 0) = P(X = 1, Y = 0). Esto significa que no debe extraerse el as de espadas. Por ello, sólo quedan 3 ases disponibles. El número de casos favorables será C(3, 1)x C(12, 0) x C(36, 1).

Por ello p(1, 0) = 216/2652

p(2, 0) = P(X = 2, Y = 0). Esto significa extraer 2 ases, de los cuales ninguno debe ser el de espada, lo que hace disponible sólo a 3 de los ases. El número de maneras de lograr esto es C(3, 2) x C(12, 0) x C(36, 0).

Luego p(2,0) = 6/2652

Calculemos p(0, 1): El número de maneras de obtener una espada que no sea el as y una cualquiera de las restantes, es C(4, 0) x C( 12, 1) x C(36, 1). Luego la probabilidad pedida es p(0,1) = 864/2652

Ahora p(0,2) = C(4, 0) x C(12, 2) x C(36, 0)/ 2652 = 132/2652

Calculemos ahora p(2, 1):

La probabilidad de extraer el as de espadas y otro as cualquiera es 1/52 x 3/51 = 3/1326. Esto significa que hemos extraído 2 ases y una espada.

Por el contrario p(1, 2) significa extraer dos espadas, de las cuales una es el as de espadas. La probabilidad de hacerlo es 1/52 x 12/51 = 12/1326

p(2, 2) = 0. No se extraen tres o cuatro cartas.

Finalmente p(1,1) significa la probabilidad de extraer el as de espada y una espada que no debe ser el as de espada. La probabilidad de extraer el as de espada es 1/52. Una espada que no sea el as de espada se obtiene con probabilidad 12/51. Pero hay 12 formas diferentes de extraer una de tales cartas. Luego la probabilidad p(1,1) = (1/52) x (12/51) x 12 = 144/1326

Esto completa la distribución de probabilidad pedida, que se muestra en el siguiente cuadro:

Las distribuciones marginales también se muestran en la figura anterior.

Sea A el evento definido como “El número de ases sea mayor que el número de espadas”.

Esto significa que A = {(X, Y) / X > Y }.

Según esto, P(A) = P({(1,0), (2, 0), (2, 1) } ) = 228/2656