Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 166

Encuentre las distribuciones marginales de X e Y, del Ejemplo 80.

Solución

La distribución de probabilidades conjunta de (X, Y) es la que se muestra en el gráfico anterior.

A partir de ella, la distribución Marginal de X es:

Si X = 0 entonces p(0) = p(0, 1) + p(0, 2) + p(0, 3) = 6/27

Si X = 1 entonces p(1) = p(1, 1) + p(1, 2) + p(1, 3) = 18/27

Si X = 2 entonces p(0) = p(2, 1) + p(2, 2) + p(2, 3) = 3/27

Por lo que la función marginal de X, dado en forma tabular, es

Esta misma distribución se aprecia en la última fila del cuadro de la distribución conjunta.

La distribución Marginal de Y es:

Si Y = 0 entonces q(0) = q(0, 0) + q(1, 0) + q(2, 0) = 8/27

Si Y = 1 entonces q(1) = q(0, 1) + q(1, 1) + q(2, 1) = 12/27

Si Y = 2 entonces q(2) = q(0, 2) + q(1, 2) + q(2, 2) = 6/27

Si Y = 3 entonces q(3) = q(0, 3) + q(1, 3) + q(2, 3) = 1/27

Por lo que la función marginal de X, dado en forma tabular, es

Esta misma distribución se aprecia en la última columna del cuadro de la distribución conjunta.

Ejemplo 167

La función de probabilidad conjunta de (X, Y) está dada por p(x, y) = (x² + y²)/32, x = 0, 1, 2, 3 ; y = 0, 1

Encuentre las distribuciones marginales de X e Y, respectivamente.

Solución

Para la Marginal de X. sólo debemos reemplazar los valores de Y, para cada valor que tome X. Igualmente, para la Marginal de Y, reemplazamos valores de X, para cada valor de Y.

Marginal de X:

Puesto que el espacio rango de X es 0, 1, 2, 3 entonces

p(0) = p(0, 0) + p(0, 1) = 0 + 1/32;

p(1) = p(1, 0) + p(1, 1) = 1/32 + 2/32

p(2) = p(2, 0) + p(2, 1) = 4/32+5/32

p(3) = p(3, 0) + p(3, 1) = 9/32 + 10/32

Por ello la distribución marginal de X se muestra en el siguiente cuadro

Otra forma de responder a la preguntas es la siguiente: