Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Distribuciones condicionales

Caso discreto:

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta, cuya función de probabilidad conjunta es p(x_i, y_j).

Sea p(xi) y q(yj) , i =1, 2, ..., n, ...; j = 1, 2, ..., m, ... , las distribuciones de probabilidad marginal de X e Y. Diremos que pX/Y(x_i/Y = y_j) es la función de probabilidad condicional de X, dado Y = y_j, si

Ejemplo 169

Obtener las distribuciones condicionales de X, dado Y = 1 e Y, dado X = 2, del problema planteado en el Ejemplo Nº 10.

Solución

Sea (X, Y) la variable aleatoria bidimensional discreta cuya función de probabilidad conjunta es, de acuerdo al Ejemplo 10,

p(x, y) = (x² + y²)/32,     x = 0, 1, 2, 3; y = 0, 1

Para obtener la distribución de probabilidad condicional de X dado Y = 1, debemos encontrar primero la distribución marginal de Y, de ella extraemos q(y = 1).

Del mismo modo, para obtener la distribución de probabilidad condicional de Y dado X = 2, debemos encontrar primero la distribución marginal de X, de ella extraemos p(x = 2).

En consecuencia debemos encontrar las dos distribuciones marginales y luego proceder a encontrar la condicional respectiva.

Distribución Marginal de X: p(x) = (2x² + 1) / 32,     x = 0, 1, 2, 3.

Distribución Marginal de Y: p(y) = (14 + 4y²) / 32;     y = 0, 1.

Distribución Condicional de X, dado Y = 1: