Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 170

Un inversionista tiene que adquirir dos paquetes de acciones de un conjunto de 5 paquetes disponibles en el momento de la apertura de la bolsa.

Antes de seleccionar el paquete a ser adquirido, realiza un concienzudo análisis de rentabilidad y si estos resultados le satisfacen, adquiere el paquete. Puesto que dicho análisis implica un alto costo, decide realizar las pruebas sólo hasta encontrar los dos paquetes que le satisfacen.

Denotemos por X el número de pruebas que debe realizarse hasta encontrar el primer paquete aceptable e Y el número de pruebas adicionales hasta encontrar el segundo aceptable.

a) Obtenga la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y)

b) Obtenga las distribuciones marginales de X e Y

c) Obtenga la distribución condicional de X dado Y = 2 y la distribución condicional de Y dado X = 3.

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como “El número de pruebas realizadas hasta adquirir el primer paquete de acciones”. Igualmente sea Y, “El número de pruebas adicionales hasta adquirir el segundo paquete de acciones”.

Según esto, los valores que tomen las variables serán: X: 1, 2, 3, 4; Y: 1, 2, 3, 4.

Nos explicamos: Si el primer paquete le satisface al inversionista, lo adquiere, de manera que X = 1, esto implica que el segundo paquete puede adquirirse después de la primera, segunda, tercera o cuarta prueba, lo que significa que Y puede tomar valores 1, 2, 3 ó 4.

El primer paquete debe ser adquirido en la primera, segunda, tercera o cuarta prueba, necesariamente.

Sea A el evento que representa la opción de “Adquirir el paquete” y B, el evento “Adquirir el segundo paquete”. De acuerdo a esto, p(1, 1) = P(X = 1, Y = 1) representa la probabilidad de que el primer paquete se adquiera en la primera prueba y el segundo, en la siguiente prueba(una prueba adicional). Usando A y B, tenemos p(1, 1) = P({AB}) = (2/5)(1/4) = 0.1.

Del mismo modo, p(1, 2) = P(X = 1, Y = 2 ) = P({AB’B}) = (2/5)(3/4)(1/3) = 0.1 Es decir, la probabilidad de que se adquiera el primero en la primera prueba y el segundo en la tercera es 0.1.

p(1, 3) = P({AB’B’B}) =(2/5)(3/4)(2/3)(1/2) = 0.1

p(1, 4) = P({AB’B’B’B}) = (2/5)(3/4)(2/3)(1/2)(1/1) = 0.1

p(2, 4) = P({A’AB’B’B’B}) = 0 este es un evento imposible

a) En el siguiente cuadro se muestra la distribución de probabilidad conjunta de X e Y

b) En el mismo cuadro de distribución hemos sumado por fila para encontrar la distribución marginal de Y, y luego hemos sumado por columna para encontrar la distribución marginal de X.

De manera que, la distribución marginal de X es

c) Distribución condicional de X dado Y = 2:

La marginal de Y, dado X = 3 :