Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Esperanza condicional

Caso discreto:

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta con p(xi, yj) , i = 1, 2, ..., n, ...; j = 1, 2, ..., m, ... su función de probabilidad conjunta. Sea p(xi) y q(yj) las funciones de distribución marginal de X e Y, respectivamente.

Ejemplo 171

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta cuya función de probabilidad conjunta es

p(x, y) = (2x + y)/63;       x = 1, 2, 3;     y = 2, 3, 4.

Encuentre las esperanzas condicionales E[X/Y] y E[Y/X], para todos los valores de X e Y.

Solución

Como para E[X/Y] se requiere la marginal de Y y la probabilidad condicional de X, dado Y, así como para E[Y/X] se requiere la marginal de X y luego la probabilidad condicional de Y, dado X, procedamos de manera ordenada:

Distribución Marginal de X:

p(x) = (6x + 9)/63;       x = 1, 2, 3.

Distribución Marginal de Y:

p(y) = (12 + 3y)/63;       y = 2, 3, 4.

Distribución condicional de X, dado Y:

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