Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 172

Se sabe que la probabilidad de que llueva en un día cualquiera es 10% en una determinada ciudad.

Si se define a X como el número de días que llueve en los cuatro primeros días de la semana y a Y como el número de días que llueve en los cuatro últimos días de la semana,

a) Determine la distribución de probabilidad conjunta de X e Y

b) Encuentre la probabilidad P(X < 2 / Y > 2)

c) Encuentre la probabilidad de que llueva exactamente en 4 días de la semana

Solución

Sea X: “Número de días que llueve entre el Lunes, Martes, Miércoles, Jueves” ,

del mismo modo, sea Y: “Número de días que llueve entre el Jueves, Viernes, Sábado, Domingo”.

De acuerdo a esto, X: 0, 1, 2, 3, 4 y también, Y: 0, 1, 2, 3, 4.

La probabilidad de que llueva en un día cualquiera de la semana es 0.10. Si sólo se definiera a X como el número de días que llueve en la semana, entonces estaríamos frente a una distribución binomial de parámetros n = 7 y p = 0.10.

Sin embargo, no estamos muy alejados de ella pues por la manera cómo se define a X e Y, daría la impresión de estar frente a una distribución “binomial conjunta”, excepto por lo del Jueves que está siendo incluido tanto en X como en Y. Por ello encontraremos las probabilidades individuales y luego armaremos el cuadro de distribución para, a partir de ella encontrar resolver la(s) pregunta(s).

a) p(0,0) = P(X = 0, Y = 0) significa que no debe llover los 4 primeros días, ni menos los últimos 4 días.

Esto es, p(0, 0) = C(7, 0)(0.1)⁰(0.9)⁷ = 0.9⁷.

p(0, 1) = P(X = 0, Y = 1) significa que no debe llover de Lunes a Jueves, pero sí Viernes, Sábado o Domingo; esto es, p(0, 1) = 0.9⁴ . C(3, 1)(0.1)0.9² = 3(0.1)(0.9)⁶

p(1, 0) = 3(0.1)(0.9)²(0.9)⁴ ; es decir, p(0, 1) = p(1, 0).

p(0, 2) = p(0, 2) = C(3, 2)(0.1)²(0.9)⁵ = 3(0.1)²(0.9)⁵.

p(0, 3) = p(3, 0) = C(3, 3)(0.1)³(0.9)⁴ = (0.1)³(0.9)⁴. p(0, 4) = p(4, 0) = 0.

Imposible. No debe llover el jueves y debe llover, también, el jueves.

p(1,1)=P(Llueve Jueves)+P(No llueve Jueves) = (0.1)(0.9)⁶ + C(3,1)(0.1)(0.9)³C(3,1)(0.1)0.9²

p(2, 2) = C(3,2)(0.1)²(0.9)²C(3,2)(0.1)²(0.9) + C(3, 2)(0.1)²(0.9)²C(3,2)(0.1)(0.9)²

p(3, 3) = (0.1)⁶(0.9) + 9(0.1)³(0.9)(0.1)²(0.9)

p(4, 4) = (0.1)⁴(0.9)⁰(0.1)³(0.9)⁰ = (0.1)⁷

Dejamos para el lector el cálculo de las siguientes probabilidades individuales.

La distribución de probabilidades se muestra en la siguiente tabla.

b) P(X < 2 / Y > 2) = P(X < 2, Y > 2) / P(Y > 2) = 0.0029 / 0.0039 = 29/39

Sea A el evento: “Que exactamente llueva 4 días en la semana”. Si definimos a la variable Z como “Número de veces que llueve en la semana” entonces Z → B(n = 7, p = 0.10). Por ello, P(A) = P(Z = 4 ) = C(7,4)0.⁴0.9³