Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Coeficiente de correlación

Sean X e Y dos variables aleatorias con μ_X = E[X], μ_Y = E[Y], del mismo modo, σ² = V[X] y σ² = V[Y]. Diremos que ρ es el coeficiente de correlación entre X e Y, la que estará definido como

Propiedades

1. Si las variables aleatorias X e Y son independientes entonces ρ = 0

2. Si X e Y son variables aleatorias independientes entonces Cov(X, Y) = 0

3. Si Z = aX ± bY ⇒ V[aX ± bY] = a² V[X] + b² V[Y] ± 2 a b Cov(X, Y)

4. Si ρ es el coeficiente de correlación entre X e Y entonces -1 ≤ ρ(X, Y) ≤ 1.

Observación:

1. Si ρ = +1, diremos que entre X e Y existe una correlación perfecta positiva.

2. Si ρ = -1, diremos que entre X e Y existe una correlación perfecta negativa.

3. Para valores de ρ, cercanos a ± ½ diremos que existe una correlación moderadamente perfecta positiva o negativa, respectivamente.

4. El hecho de que ρ = ± 1, implica que existe una relación de una variable respecto de la otra. Por costumbre y porque coincide con el tratamiento que hemos hecho de X e Y, supondremos que, bajo las circunstancias en que ρ → ± 1, es posible definir a Y como una combinación lineal de X; es decir Y = A X + B, donde A y B son números reales con A > 0 cuando ρ = +1 y A < 0 cuando ρ = - 1.

Esta última observación da origen a un teorema, que lo enunciaremos sin demostración.

Ejemplo 177

Dada la función de probabilidad conjunta de X e Y

Hallar:

a) Cov(X, Y)

b) V[X], V[Y]

c) ρ(X, Y)

d) V[X + Y]

e) ρ(2X, 3Y + 4)

Solución

E[X] = 0(5/8) + 1(3/8) = 3/8

E[Y] = 0(2/8) + 1(3/8) + 2(3/8) = 9/8

E[XY] = 0(6/8) + 1(1/8) + 2(1/8) = 3/8