Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (XXIII)

Ejemplo 46

Supongamos que f y g son dos funciones de densidad de probabilidad en el mismo intervalo, a ≤ x ≤ b.

a) Demuestre que f + g no es una función de densidad de probabilidad en el intervalo a ≤ x ≤ b.

b) Demuestre que, ∀ β con 0 <β< 1, βf(x) + (1- β)g(x) es una función de densidad de probabilidad en ese intervalo.

Solución

a) Las dos condiciones que deben cumplirse para que una función tal como f sea una función de densidad de probabilidad de alguna variable tal como X, son

Como se cumple la segunda condición, entonces h(x) = βf(x) + (1-β)g(x) es una función de densidad de probabilidad sobre el intervalo a ≤ x ≤ b.

Ejemplo 47

Supongamos que la gráfica que se muestra en la siguiente figura representa la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X. Cuál es la relación entre “a” y “b”?

Solución

Encontremos la definición de f según la gráfica. La función f está formada por las rectas L₁ y L₂