Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (XXIV)

Ejemplo 48

El porcentaje de alcohol (100X) en cierto compuesto puede ser considerada como una variable aleatoria, en donde X, 0 < X < 1, tiene la siguiente función de densidad:

f(x) = 20x³(1-x),       0 < x < 1.

a) Encuentre una expresión para la función de distribució acumulada de X grafíquela.

b) Calcular P(X ≤ 2/3)

c) Supóngase que el precio de venta del compuesto anterior depende del contenido de alcohol. Específicamente, si el compuesto se vende en C1 dólares/galón, de otro modo, se vende en C2 dólares/galón. Si el costo es C3 dólares/galón, encuentre la distribución de probabilidad de la utilidad neta por galón y obtenga una expresión para la utilidad esperada.

Solución

a) Si f(x) = 20x³(1-x),     0 < x < 1,   entonces, por definición de F, tenemos

la gráfica de esta función se muestra en la siguiente figura:

b) Usando la distribución acumulada P(X ≤ 2/3) = F(2/3) = 5(2/3)⁴ - 4(2/3)⁵ = 0.46090535

c) Sea U la variable aleatoria definida como la utilidad neta por galón. Según el problema,

Si 1/3 < X < 2/3 entonces U = C₁ en caso contrario, U = C₂ dólares/galón. De acuerdo a esto y sabiendo que el costo es C₃ dólares/galón, diremos que la utilidad neta por galón U, tiene por función de distribución a

Calculemos ahora el valor esperado de U. Por definición

E[U] = (C₁ - C₃ )P(1/3 < X < 2/3) + (C₂ - C₃)( P(X ≤ 1/3) + P(X ≥ 2/3))

E[U] = (C₁ - C₃ )(F(2/3) - F(1/3))+ (C₂ - C₃ )(F(1/3) + (1 - F(2/3))

E[U] = (C₁ + C₂ )(0.46091) + (C₂ - C₁ )(0.04527)

Ejemplo 49

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad definida por

Solución

c) Sea A el evento “X_i es mayor que 3/2, i = 1, 2, 3”

P(A) = P(X₁ >3/2 ∩ X₂ >3/2 ∩ X₃ >3/2 )

Puesto que los X_i son variables independientes entonces

P(X>X₁ ) = P(X>X₂ ) = P(X>X₃ )

Por lo que P(A) = (P(X > 3/2))³ = 1/8