Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (XXIX)

Ejemplo 55

Una urna contiene 4 bolas rojas, 6 negras, 8 verdes y 2 blancas. Un jugador extrae una bola de la urna. Si esta es roja, el jugador gana $ 30.00, si es negra, gana $ 20.00. Cuánto debería pagar el jugador si extrae una verde y cuando extrae una bola blanca para que el juego sea equitativo?. Además, si extrae una bola verde el jugador deberá pagar la cuarta parte de lo que pagaría si extrae una bola blanca.

Solución

Nota:

Consideraremos que un juego es equitativo si su esperanza o valor esperado del beneficio obtenido con el juego es cero.

Sea B el evento “Se extrae una bola blanca”

Sea N el evento “Se extrae una bola negra”

Sea R el evento “Se extrae una bola roja”

Sea V el evento “Se extrae una bola verde”

Sea X la variable aleatoria que representa “La ganancia del jugador”.

Si ocurre B, X = k con P(B) = 2/20

Si ocurre V, X = x/4 con P(V) = 8/20

Si ocurre R, X = $ 30 con P(R) = 4/20

Si ocurre N, X = $ 20 con P(N) = 6/20

Luego podemos formular la siguiente distribución

Encontremos el valor esperado

E(X) =- 30(4/20) + 20(6/20) +(-k/4)(8/20) + (-k)(2/20 = 0

De donde k = 15

Luego el jugador debe pagar $ 15.00 si extrae verde y $ 60.00 si extrae una bola blanca.

Ejemplo 56

Una empresa comercializadora de productos con valor agregado recibe lotes de 40 artículos de vestir para damas. La empresa debe realizar la última fase que es el estampado. Esta empresa acepta las prendas de vestir sabiendo que, por lo general, el lote contiene 5% de prendas defectuosas. El plan de aceptación consiste en extraer una muestra aleatoria de 5 artículos. Si se encuentra una prenda defectuosa se rechaza el lote.

a) Hallar la probabilidad de que se encuentre exactamente una prenda de vestir defectuosa en la muestra, si el lote se considera en su calidad mínima (Un lote se encuentra en su calidad máxima, si no contiene productos defectuosos).

b) ¿Cuántas prendas defectuosas espera encontrar en la muestra?

Solución

Sea X la variable aleatoria que representa “Número de prendas defectuosas en la muestra”. La probabilidad de que se extraiga una prenda defectuosa es 0.05. Si en la muestra de tamaño 5 deseamos encontrar “x” prendas defectuosas, entonces (0.05)x es la probabilidad de encontrar x defectuosas y (1 – 0.05) (5-x) es la probabilidad de que las otras “5-x” sean no defectuosas. Y como las “x” defectuosas pueden ser extraídas en cualquiera de las 5 extracciones, el número de maneras de obtener “x” defectuosas en 5 es combinaciones de 5 tomados de x en x. Todo esto nos lleva a formular la función de probabilidad de X siguiendo el modelo binomial de acuerdo a

p(x) = P(X = x) = C(5, x)0.05^x0.95^5-x,       x = 0, 1, ..., 5.

a) La probabilidad de encontrar exactamente una prenda defectuosa es

p(1) = P(X = 1) = C(5, 1)(0.05)(0.95)⁴ = 0.2036

b) El valor esperado de X, usando la definición será