Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (XXX)

Ejemplo 57

Un conductor decide cambiar la válvula que regula el termostato de su vehículo. Para ello acude a un taller en donde el técnico dispone de cuatro válvulas, una de las cuales es el que debe usar para el vehículo en cuestión. Si las selecciona al azar una después de otra, y sin reposición, cuál es el número esperado de válvulas que ha de probar para colocar el correcto?.

Solución

Sea X el “número de pruebas que debe realizar el técnico hasta encontrar la válvula correcta”. Observe que en este caso definimos a X como el número de ensayos y no como el número de veces que debe ocurrir éxito. En el caso binomial, el número de ensayos es conocido y además los ensayos se realizan con reposición, por lo que la probabilidad de éxito no cambia. Sin embargo en este caso, las pruebas implican realizar ensayos sin reposición; por lo que la probabilidad de éxito (ubicar la válvula correcta) cambia conforme se realizan más pruebas.

Sea C el evento “Encontrar la válvula correcta”.

Si X = 1, p(1) = P(X = 1) = P(C) = ¼

Si X = 2, p(2) = P(X = 2) = P(C’  C) = (¼)(1/3)

Si X = 3, p(3) = P(X = 3) = P(C’  C’ C) = (¼)(1/3)(1/2)

Si X = 4, p(4) = P(X = 4) = P(C’  C’ C’ C) = (¼)(1/3)(1/2)(1)

Por lo que el número esperado de pruebas que debe realizarse será

E(X) = 1(1/4)+2(1/4)(1/3)+3(1/4)(1/3)(1/2)+4(1/4)(1/3)(1/2)(1) = 0.70833

Ejemplo 58

Ud. lanza una moneda tres veces. Si obtiene al menos dos caras, se le permitirá lanzar un dado y recibirá tantos soles como puntos obtenga en el dado. Qué cantidad de dinero espera ganar Ud. en este juego?.

Solución

Sea A el evento “Sale por lo menos dos caras”. P(A) = 4/8

Sea B el evento “Lanzar un dado y obtener un punto”

Sea X la variable aleatoria que representa: “Cantidad de dinero recibido”. Los valores de X son: 1, 2, 3, 4, 5, 6. La probabilidad de que salga cualquiera de las caras, digamos x, es

p(x) = P(X = x) = 1/6

El evento B ocurre sólo si ocurre A. Luego P(B) = P(A)1/6 = (4/8)x(1/6) = 4/48

Luego espero ganar S./ 1.75.

Ejemplo 59

Todos los que participan en un determinado juego deben inscribirse pagando S./ 1.0. El juego consiste en lanzar tres argollas hacia una clavija, a la cual se ha amarrado una botella de vino. El jugador debe lanzar las argollas de uno en uno. Si ensarta una argolla gana un premio de S./ 5.0 Si logra ensartar dos argollas, gana S./ 10.0. Si logra ensartar las tres argollas, el premio es de S./ 50.0. Si suponemos que la probabilidad de ensartar en la clavija es 0.10. Cuál es la ganancia esperada del jugador, si juega a) sólo una vez. b) si juega diez veces?.

Solución

Sea X la variable que representa: “Número de argollas que logra ensartar el jugador”. Según el problema, los valores de X son: 0, 1, 2, 3.

Como la probabilidad de éxito(ensartar una argolla) es 0.1 y es constante, X es una variable que tiene distribución binomial cuya función de probabilidad viene dada por

Si se realizan diez jugadas, tendremos E(X) = 0.965 soles.