Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (XXXI)

Ejemplo 60

En un determinado juego de dados, Manuel debe pagar a la mesa $ 1.0, luego del cual lanza tres dados. Manuel recibe $ 2.0 si aparece un as; recibe $ 4.0 si aparecen dos ases y $ 8.0 si aparecen tres ases. En los otros casos no recibe nada.

a) Es equitativo el juego? Justifique su respuesta

b) Si no lo fuese, cuánto debería recibir A por sacar tres ases?

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como “Cantidad de dinero recibida por Manuel”.

Sea A el evento “Sale un as al lanzar los tres dados”

Según el problema: Si sale un as, X = 2; si sale dos ases, X = 4 y si sale tres ases, X = 8. Con las siguientes probabilidades:

X = 2 con P(X = 2) = P({(A, A’, A’), (A, A, A’), (A’, A’, A)}) = 3(1/6)(5/6)(5/6) = 75/216

X = 4 con P(X = 4) = P({(A, A, A’), (A, A’, A), (A’, A, A)}) = 3(1/6)(1/6)(5/6) = 15/216

X = 8 con P(X = 8) = P({(A, A, A)}) = (1/6)(1/6)(1/6) = 1/216

Obtención del valor esperado de X: E(X) = 2(75/216) + 4(15/216) + 8(1/216) = 218/216

a) Sin duda el juego no resulta equitativo. Para que esto ocurra E(X) debería ser $ 1.0 ya que al pagar $ 1.0 para jugar, al final no ganaría ni perdería.

b) Para que sea equitativo, debería recibir $ 6.0, si obtiene tres ases.

Ejemplo 61

Yaco decide participar en un juego que consiste en lo siguiente: Luego de firmar una boleta en blanco para participar en el juego, recibe tres bolitas para lanzarlas hacia un depósito que contiene cuatro casilleros. Gana si logra colocar dos de las bolitas en un mismo casillero. Una bolita puede caer en cualquiera de los cuatro casilleros con igual probabilidad. Yaco tiene tres oportunidades para lograr éxito. Si tiene éxito, recibe $ 219.70. Si no logra tener éxito en los tres intentos, debe pagar una determinada cantidad. Si pierde Yaco cuánto debe pagar para que el juego resulte equitativo?

Solución

Sea R el evento “En un casillero sólo caen dos bolitas”. Y sea G el evento “Gana Yaco”.

La probabilidad de que una bolita caiga en cualquiera de los cuatro casilleros es 1/4 . La probabilidad de que dos bolitas caigan en el mismo casillero es 1/16. Y que la tercera bolita no caiga en dicho casillero es 3/4 . Pero este casillero pudo haber sido cualquiera de los cuatro. Luego P(R) = 4x(1/4)(1/4)(3/4) = 4x3/64 = 3/16.

Como Yaco tiene tres intentos, Sea X la variable que representa “El número de intentos que debe hacer Yaco para ganar el juego. Según esto, Yaco gana el juego si X = 1 ó X = 2 ó X = 3. Con probabilidades

p(1) = P(X=1) = 3/16

p(2) = P(X = 2) = (13/16)(3/16) = 39/256

p(3) = P(X = 3) = (13/16)² (3/16) = 507/4096

Luego P(G) = 3/16 + 39/256 + 507/4096 = 1899/4096

El juego es equitativo si E(X) = 0. Esto significa que E(X) = 219.7(1899/4096) + k(2197/4096) = 0.

Despejando k de la ecuación, tenemos k = 189.9

Luego, si Yaco pierde deberá pagar $ 189.9 para que el juego sea equitativo.