Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (XXXII)

Ejemplo 62

Un parroquiano pasado de copas llega a su casa y desea abrir la puerta de entrada. En el llavero tiene 5 llaves las que prueba una tras otra, al azar. Suponga que se encuentra suficientemente despierto como para eliminar las llaves ya probadas. Sea X la variable que representa el “número de llaves que debe probar hasta que la puerta se abra”. Hallar el número esperado de llaves que debe probar.

Solución

Sea X: Número de llaves que debe probar hasta abrir la puerta. Sea A el evento “El parroquiano logra abrir la puerta”

El siguiente esquema muestra lo que podría ocurrir.

El parroquiano logra abrir la puerta si ocurre uno de los siguientes eventos:

E , FE , FFE , FFFE , FFFFE

Esto quiere decir que X tomará valores 1, 2, 3, 4 ó 5.

Con probabilidades (1/5), (4/5)(1/4), (4/5)(3/4)(1/3), (4/5)(3/4)(2/3)(1/2) y (4/5)(3/4)(2/3)(1/2)(1), respectivamente.

La distribución de probabilidades viene dada por

X	1	2	3	4	5
p(x)	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2

Luego E(X) = 1(0.2) + 2(0.2) +3(0.2) + 4(0.2) + 5(0.2) = 3

Ejemplo 63

Un fabricante de televisores utiliza cierto tipo de componente electrónico en el ensamblaje de televisores a color. Cada televisor requiere de 6 de estos componentes. Un componente defectuoso no puede ser detectado hasta que el televisor haya sido ensamblado completamente. El costo de detección, reparación y reposición de un componente defectuoso es de $ 15. El fabricante ha estado comprando estos componentes en lotes de 100 a dos proveedores diferentes. El costo por lote del proveedor A es $ 100, en tanto que del proveedor B es $ 120. Basadas en experiencias anteriores, las calidades comparadas de los lotes comprados a los dos proveedores, son los siguientes:

Proveedor A:

Nro estimado de componentes defectuosos por lote	1	2	3	4	5
Probabilidad	0.30	0.25	0.20	0.15	0.10

Proveedor B:

Nro estimado de componentes defectuosos por lote	1	2	3
Probabilidad	0.50	0.35	0.15

A qué proveedor debe comprar el fabricante dichos componentes electrónicos?

Solución

Sea X el número de componentes defectuosos encontrados en un lote.

Encontremos el número esperado de componentes defectuosos por lote para los dos proveedores:

Para el proveedor A: E(X) = 1(0.30)+2(0.25)+3(0.20)+4(0.15)+5(0.1) = 2.5

Para el proveedor B: E(X) = 1(0.50)+2(0.35)+3(0.15) = 1.5

Para una adecuada decisión calcularemos el costo total que se espera tener por lote y por cada proveedor.

Sea CT la variable que representa el Costo total esperado por lote. Según el problema

En el caso del proveedor A, CT = 100 + 15 X de donde E(CT ) = $ 100 + $ 15(2.5) = $ 137.5

En el caso del proveedor B, CT = 120 + 15 X de donde E(CT ) = $ 120 + $ 15(1.5) = $ 142.5

Sin duda el fabricante elegirá al proveedor A para que le suministre dichos componentes.

Caso continuo

Sea X una variable aleatoria continua. Sea f su función de densidad de probabilidad. Diremos que E(X) es su Esperanza Matemática y se define como

Propiedades de la esperanza de una variable

i) E(K) = K

ii) E(K + X) = K + E(X)

iii) E(KX) = KE(X)

iv) Si Y = A + BX entonces E(Y) = A + B E(X)

Nota:

Aceptaremos esto último como propiedad excusándonos del rigor ya que siendo Y = H(X) = A + BX, una función de una variable aleatoria, debiéramos haber desarrollado dicho tema. Sin embargo, lo tomaremos como válido.

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