Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

4.7 VARIANZA DE UNA VARIABLE

Sea X una variable aleatoria. Sea E(X) su valor esperado. Diremos que V(X) es la varianza de la variable aleatoria de X y la definiremos como la esperanza del cuadrado de los desvíos de la variable respecto de su valor esperado o media; es decir,

V(X)= E[(X-E(X))(Y-E(Y)) ]²

TEOREMA. Si V(X) es la varianza de la variable aleatoria X, entonces

V(X)= E(X² )- (E(X))²

Notación:

V(X) = E(X²) – μ²

Desviación estándar

Sea X una variable aleatoria. Si V(X) es la varianza de X, definimos a X como la Desviación Estándar de X tal que

σ_X= √(V(X))

Propiedades de la varianza

V(K) = 0

V(K + X) = V(X)

V(KX ) = K² V(X)

Si Y = A + BX entonces V(Y) = B²V(X)

Nota:

Hacemos la misma acotación mencionada en el caso de la esperanza de X.

Ejemplo 67

Si se lanza una moneda tres veces, cuál es el número esperado de caras que se obtendría? Con que varianza y desviación?

Solución

La función de probabilidad para X es

Ya hemos visto que E(X) = 12/8 = 1.5

Obtención de la varianza V(X). Por el teorema V(X) = E(X²) – (E(X))²

Cálculo de E(X²):

E(X²) = 0²(1/8) + 1²(3/8) + 2²(3/8) + 3²(1/8) = 24/8 = 3

Luego V(X) = 3 – 1.5² = 0.75

La desviación estándar: σ_X = (0.75)(1/2) = 0.866

Ejemplo 68

La demanda de un determinado producto es una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es la siguiente:

a) Hallar el valor de k

b) ¿Cuál será la demanda que se espera tener de dicho producto?

c) ¿Cuál es la desviación estándar que experimenta la demanda?

Solución

a) Para que p(x) se la función de probabilidad de X se debe cumplir

Luego

V(X) = 17.8 – 4.09² = 1.0644

De donde σ_X = 1.03173