Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 69

Sea X una variable aleatoria cuya función de distribución acumulada viene dada por

Calcule la varianza de la variable

Solución

Ante todo encontremos la función de probabilidad de X. De F podemos decir que X es una variable aleatoria discreta.

Si X < 0 entonces p(x) = 0

Si 0 ≤ x < 1 entonces p(x) = F(0) – P(X < 0) = 1/8 – 0 = 1/8

Si 1 ≤ x < 2 entonces p(x) = F(1) – P(X < 1) = 1/2 – 1/8 = 3/8

Si 2 ≤ x < 3 entonces p(x) = F(2) – P(X < 2) = 5/8 - 1/2 = 1/8

Si X ≥ 3 entonces p(x) = 1 – P( X < 3 ) = 1 – F(2) = 1 – 5/8 = 3/8

En otras palabras, la función de probabilidad de X viene dada por

Para calcular la varianza debemos primero encontrar E(X) y E(X2):

E(X) = 0(1/8) + 1(3/8) + 2(1/8) + 3(3/8) = 1

E(X2) = 02(1/8) + 12(3/8) + 22(1/8) + 32(3/8) = 2

Luego V(X) = E(X2) – (E(X))2 = 2 – 1 = 1

Coeficiente de variación

Sea X una variable aleatoria con μX y σX, su media y desviación, respectivamente. Diremos que CV(X) es el coeficiente de variación de X tal que

CV(X)= σ/μ

En términos porcentuales el coeficiente de variación mide el porcentaje de variabilidad de los valores de una variable respecto a su media esperada. Expresa el grado de dispersión de los datos alrededor de su promedio esperado.

 

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