Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 72

Una tienda de accesorios para vehículos está rematando cierto número de artículos entre ellos un lote formado por cuatro productos al precio de $ 40.0 por todo el lote. Un comerciante puede todos los artículos en buen estado a $ 20.0 cada uno, pero todo artículo defectuoso representa una pérdida completa de $ 10.0. Basado en su amplia experiencia, el comerciante asigna probabilidades de 0.1, 0.5, 0.2, 0.1 y 0.1 a los eventos que haya 0, 1, 2, 3 y 4 artículos defectuosos en el lote, respectivamente. Si no es posible ninguna inspección, deberá comprar el lote?

Solución

Sea X la variable aleatoria que representa el “Número de artículos defectuosos en el lote”.

Según los datos, X puede tomar valores 0, 1, 2, 3, 4 con una distribución definida por

Costo total de los cuatro productos: $ 40.0

Ingreso total si los cuatro productos son buenos: $ 80.0

Si por cada producto defectuoso se pierde $ 10.0, entonces 10X es el total de la pérdida.

Para responder a la pregunta definamos a Y como la ganancia obtenida al vender los cuatro productos. Según el problema, Y = 80 – (40 + 10X) = 40 – 10X. Hallemos la esperanza de Y.

Si Y = 40 – 10X entonces E[Y] = 40 – 10E[X].

Puesto que E[X] = 0(0.1) + 1(0.5) + 2(0.2) + 3(0.1) + 4(0.1) = 1.6; con lo cual E[Y] = 28.

Por tanto, el comerciante debe comprar el lote.

Ejemplo 73

Sea X una variable aleatoria cuya distribución de probabilidades es la siguiente:

Calcular E[2X +1]; V[X]; V[2X + 1]

Solución

Hallaremos primero E[X] y V[X]:

E[X] = 0+1/4+2(1/4)+3(1/4)+4(1/8) = 2

V[X] = E[X²] – (E[X])² = 0+1/4+4(1/4)+9(1/4)+16(1/8) – (2)²

V[X] = 1.5

Si hacemos Y = 2X +1 entonces, aplicando propiedades

E[Y] = E[2X+1] = 2E[X] + 1 = 2(2) + 1 = 5

V[Y] = V[2X+1] = 4V[X] + 0 = 4(1.5) = 6