Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 74

Sea X una variable aleatoria con función de densidad definida por

f(x) = x/18, 0 ≤ x ≤ 6. Si Y = 10 + 2X, hallar la esperanza y la varianza de Y usando dos procedimientos diferentes.

Solución

Usaremos propiedades de esperanza y varianza para resolver el problema:

Como para hallar la esperanza y varianza de Y se requiere conocer previamente la esperanza y varianza de X, hallaremos primero estos valores: Según los datos f(x) = x/18, 0 ≤ x ≤ 6.

Con lo cual

Luego V[X] = 18 – 4² = 2

Si Y = 10 + 2X entonces E[Y] = 10 + 2E[X] = 10 + 2(4) = 18.

Igualmente, V[Y] = 0 + 4V[X] = 8

Ejemplo 75

Imagina es una compañía constructora de rascacielos en el centro financiero de Lima. El suministro de estos materiales está sujeto a un tiempo de demora, digamos X, cuyo comportamiento es reflejado mediante la función de densidad f(x) = 1/3 en el intervalo de uno a cuatro días. Y f(x) = 0 si el número de días cae fuera de este intervalo.

Si el material almacenado le permite prescindir del pedido hasta por dos días, el costo de la demora se fijó en 100 soles, para cualquier demora de hasta dos días. Sin embargo, después de dos días, el costo de la demora es de 20 soles adicionales por cada día de demora. Calcular el valor esperado del costo para la compañía debido a la demora en el suministro de estos materiales?

Solución

Sea X el tiempo de demora en recibir los materiales. La función de densidad de X es

Sea C la variable que representa el costo por la demora en el suministro de los materiales. De acuerdo al problema, si x  2, entonces C = 100; pero si x > 2, entonces C = 100 + 20(X – 2) ya que por cada día adicional a los dos primeros días, se tiene un costo de 20 soles. Esto no sugiere que C puede definirse de la siguiente manera

Podemos apreciar que C es una función de una variable aleatoria, por lo que, de acuerdo a los teoremas de valor esperado de una función de variable aleatoria, tenemos

Luego, el costo esperado de demora para la compañía será de 113.33 soles.