Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 76

El tiempo X, que un cajero tarda en atender a un cliente durante las horas de mayor demanda, se distribuye exponencialmente con una función de densidad dada por f(x) = 0.2e-0.2x donde x > 0. Suponga que la media y varianza de X son 5 y 25. Si el costo que el cajero tarda en atender a cada cliente se define según la ecuación C = K X² - 5X + 8

Obtenga el valor de K si se espera tener por cliente un costo total de 83 soles

Solución

Si el costo total esperado es de 83 soles, entonces E[C] = 83. Aplicando propiedades de valor esperado a la función del costo total, tenemos

E[C] = E[KX² - 5X + 8] = K E[X²] – 5 E[X] + 8 (1)

Por otro lado, como V[X] = E[X²] – (E[X])² entonces E[X²] = V[X] + (E[X])² = 25 + 25 = 50

Reemplazando los valores conocidos en (1), tenemos 83 = K(50) – 5(5) + 8. Luego K = 2.

Ejemplo 77

Una institución benéfica decide recaudar fondos mediante la realización de un evento popular sorteando un automóvil 0 Km. Para ello se deben vender 8000 boletos a $ 5.0 cada uno. El premio consiste en la entrega al ganador de la rifa de un automóvil cuyo costo es de $ 12,000. Si una persona adquiere dos boletos, ¿cuál será la ganancia esperada de esta persona?

Solución

Sea X la ganancia esperada de una persona. Veamos qué valores toma X:

En principio la persona gasta $ 10.0 en los dos boletos de la rifa. Si ninguno de los boletos sale premiado, en cuyo caso su ganancia será 0 que recibe como premio menos lo que le costó los boletos: 0 – 10. Si uno de los boletos sale premiado, su ganancia será $ 12000 – 10; luego los valores de X son: -10 y 11990.

Encontremos ahora sus respectivas probabilidades.

X toma el valor –10 siempre que ocurre el evento P₁ ∩ P₂ , que corresponde al cuarto ramal inferior.

Observamos que la persona que compró los dos boletos puede ganar el automóvil por cualquiera de tres primeros ramales del árbol. Sólo pierde por el último. Como la ocurrencia de los eventos “Tres primeros ramales” y “El último ramal” son complementarios, entonces

p(-10) = P(X = -10) = P(P₁' ∩ P₂') = P(P₁ ∩ P₂’) P(P₁')P(P₂’/P(P₁') = 7999/8000x7998/7999 = 0.99975

p(11990) = P(X = 11990) = 1 - P(P₁’ ∩ P₂ ’) = 1- 0.99975 = 0.00025

Luego la distribución de probabilidad de X viene dada por

Con lo cual E(X) = (-19)(0.99975) + 11990(0.00025) = -7

Se concluye que se espera que la persona pierda $ 7.0.