Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (VII)

Ejemplo 17

Una agencia bancaria tiene tres cajeros automáticos. La probabilidad de que uno cualquiera de ellos falle después de un tiempo determinado de uso, es 0.1. Los cajeros operan independientemente uno de otro. En una hora determinada, cuál será la distribución de probabilidad del número de cajeros que fallen?

Solución

De acuerdo al problema, el funcionamiento de cada cajero es independiente uno de otro. La probabilidad de que uno de ellos falle es igual a 0.1. Sea X la variable aleatoria definida como “el número de cajeros que fallan en una hora determinada”. Según esto, pueden fallar 0, 1, 2 o los 3 cajeros; por lo que los valores posibles de X son 0, 1, 2, 3.

Sea F el evento “Un cajero falla” tal que P(F) = 0.1 y P(F’) = 0.9.

Con lo cual

p(0) = P(X=0) = P(F’F’F’) = 0.93 =0.729. Esto porque los eventos son independientes.

p(1) = P(X=1) = P(FF’F’ ó F’FF’ ó F’F’F)=C(3,1)P(FF’F’)=3(0.1)(0.9) 2 = 0.243

p(2) = P(X=2) = C(3,2)P(FFF’) = 3(0.1) 2 (0.9) = 0.027

p(3) = P(X=3) = C(3,3)P(FFF) = (0.1) 3 = 0.001

Luego la distribución de probabilidad del número de cajeros que fallen será

Ejemplo 18

Supongamos que la máquina 1 produce diariamente dos veces más items que la máquina 2. Sin embargo, el 4% de los items producidos por la máquina 1 tienden a ser defectuosos, mientras que sólo el 2% de los items producidos por la máquina 2 son defectuosos. Supongamos que la producción diaria de las dos máquinas se combina al final del día. Si se toma una muestra aleatoria de 10 items de este lote, cuál es la probabilidad de que la muestra contenga dos defectuosos?.

Solución

De acuerdo a los datos, de tres items que se produzca, dos provienen de la máquina 1; esto significa que si se extrae un item del lote, la probabilidad de que provenga de la máquina 1 es 2/3 y que provenga de la máquina 2 es 1/3. El diagrama siguiente refleja el resto de los datos.

P(M1) = 2/3; P(M2) = 1/3; P(D/M1) = 0.04 P(D/M2) = 0.02

Si D es el evento: el item elegido es defectuoso, entonces

P(D) = (2/3)(0.04) + (1/3)(0.02) = 1/30

Sea X la variable definida como el número de items defectuosos hallados en la muestra de 10.

Sea p = P(D) = 1/30 la probabilidad de éxito; es decir, de que un item de la muestra sea defectuoso.

Sea A el evento definido como “La muestra contenga dos defectuosos”

Según los datos, P(A) = p(2) = P(X = 2). Como la probabilidad de que un producto sea defectuoso es p = P(D) = 1/30, entonces, ocurre éxito cuando se extrae un artículo defectuoso, en este con p = 1/30. Ahora bien, el número de maneras de seleccionar x = 2 defectuosos en una muestra de tamaño 10 es C(10, 2). La probabilidad de que en un grupo cualquiera de estas C(10, 2) maneras haya 2 defectuosos es (1/30) 2 “y” los otros 10-2 sean no defectuosos es (29/30)8. Por ello, la función de probabilidad para x defectuosos será

 

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