Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD (VIII)

Ejemplo 19

Se tiene una urna con tres fichas negras y dos rojas. Si se extrae sucesivamente y sin reposición de una en una hasta obtener una negra y se define a X como el número de extracciones que se debe realizar hasta que salga una ficha negra, determine la función de probabilidad de X.

Solución

Ante todo, el espacio muestral , está formado por Ω = {N, RN, RRN }.

Sea X: El número de extracciones que debe realizarse hasta obtener una ficha negra

Como en la urna hay dos rojas, los tres rectángulos muestran las tres situaciones que pueden presentarse, no importa el orden. En el primer caso X toma el valor 1, ya que se ha realizado una extracción. En el segundo se han realizado dos y en el tercero X tomará el valor 3. Luego los posibles valores de X son 1, 2 y 3.

Si X = 1 entonces p(1) = 3/6 = 0.6

Si X = 2 entonces p(2) = (2/5(3/4) = 0.3

Si X = 3 entonces p(3) = (2/5)(3/4)(3/3) = 0.1

Luego la función de probabilidad de X viene dada por

Ejemplo 20

Se lanza un dado hasta que salga un 3 ó 5. Si se define a X como el número de veces que debe lanzarse el dado hasta obtener éxito, encuentre la función de probabilidad de X.

Solución

Este ejemplo es una generalización del tipo de ensayo del ejemplo anterior. Cada vez que se lanza el dado, puede ocurrir dos únicos posibles resultados: éxito (sale un 3 ó un 5) o fracaso (sale otras caras). En el momento en que ocurre éxito por primera vez, termina el ensayo. Si p = P(E) es la probabilidad de que ocurra éxito, entonces p = 1/3 y si q = P(F) es la probabilidad de fracaso, q = 1 – p = 2/3. El siguiente esquema orientará nuestro análisis.

Algunos de los elementos del espacio muestral son los siguientes:

Ω = { E, FE, FFE, FFFE, FFFFE, ...}

de igual manera, los posibles valores que pueda tomar X son: 1, 2, 3, ...

X = 1 significa que se obtuvo éxito en el primer ensayo. Como p(1) = P(X = 1) = P(E) tenemos p(1) = P(X=1) = 1/3.

X = 2 significa que se obtuvo éxito en el segundo ensayo, lo que significa que el primero tuvo que ser fracaso. Luego p(2) = P(X = 2) = P(FE) = (2/3)(1/3).

Ocurre lo mismo con X = 3. Es decir p(3) = P(X = 3) = P(FFE) = (2/3)(2/3)(1/3). Del mismo modo, X = 4 significa que p(4) = (2/3)3(1/3).

Supongamos que “X = x “ es el evento “el primer éxito” ocurre en el “x-ésimo” ensayo. Diremos entonces que en los “x-1” ésimos ensayos hubo fracaso y éxito en el último. Por ello, la función de probabilidad de X será

Ejemplo 21

Un grupo de investigadores de mercado está formado por tres hombres y tres mujeres. Si el responsable del grupo desea elegir aleatoriamente a dos de ellos para una labor especial y definimos a X como el número de mujeres seleccionadas, obtenga la función de probabilidad de X.

Solución

Como en el grupo hay tres mujeres y tres hombres y se extrae a dos de ellos, X tomará valores 0, 1, 2. Hallemos la probabilidad para cada valor de X

X = 0 significa que debe elegirse a dos hombres. El problema consiste ahora en elegir a dos hombres de un grupo de 3. Esto constituye una combinación de 3 elementos tomados de 2 en dos. Podríamos decir lo mismo de las mujeres: El número de maneras de elegir cero mujeres de un total de 3, representa combinaciones de 3 tomados de 0 en 0. Y como deben ocurrir los eventos “cero mujeres” y “dos hombres” entonces, la probabilidad de que ocurran será el producto de ambos, por el principio de multiplicación. El espacio muestral estará constituido por el número de combinaciones de 6 elementos tomados de 2 en dos. Por ello la probabilidad de elegir “cero” mujeres es

Analicemos el caso X = 1. Se trata de elegir una mujer dentro de un total de 3, y un hombre dentro de un total de 3 hombres. La probabilidad de que esto ocurra es

Dejamos para el lector el caso X = 2.

La función de probabilidad viene dada por: