Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 141

Si X es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con parámetros 3 y 4, hallara el valor de k si P(X ≥ k ) = 2 P(X < k).

Solución

Si X → N(3,4) entonces &my; = 3 y σ = 2. Por ello

P(X ≥ k ) = 2 P(X < k) ⇒ 1 - P(X lt; k) = 2 P(X < k) ⇒ P(X lt; k) = 1/3. Pasando a Z, tenemos que → N(0, 1), P/X < (k-3)/2) = 0.3333 de donde Φ((k-3)/2) = 0.3333. Como el área es menor que 0.5, el z que nos dé la tabla deberá ser negativo. Esto quiere decir que si se usa una tabla que muestra valores para z positivos, luego de encontrar el valor de z buscado, se debe cambiar de signo. Por esta razón, si Φ((k-3)/2) = 0.3333 y el valor de z que da la tabla es –0.43, entonces (k-3)/2 = -0.43, de donde k = 2.14

Ejemplo 142

Los tubos fabricados por cierta máquina tienen un diámetro medio de μ 9.8 mm, con una desviación σ = 0.53 mm. ¿Qué porcentaje de tubos será rechazado, si no se aceptan diámetros inferiores a 9.0 mm? Asuma que los diámetros tienen una distribución normal.

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como “La longitud del diámetro de un tubo”. Sea A el evento definido como “Longitud de diámetro inferior a 9.0 mm”; es decir A = {X/X<9 }. Como X → N(9.8, 0.53²) entonces P(A) = P(X < 9) = P(Z < (9-9.8)/0.53) = P(Z < -1.51) = &Phi:(-1.51) = 0.0655. Es decir, el 6.55% de los tubos fabricados por esa máquina serán rechazados.

Ejemplo 143

El diámetro de un cable eléctrico está distribuido normalmente con promedio 0.8 y varianza 0.0004. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro sobrepase 0.81 pulgadas? b) Si el cable se considera defectuoso cuando el diámetro se diferencia en su promedio en más de 0.025, ¿cuál es la probabilidad de obtener un cable defectuoso?

Solución

Sea X la variable definida como la “Longitud del diámetro del cable eléctrico”.

a) Según el problema, X → N(0.8, 0.0004); esto es, μ = 0.8 y σ = 0.02.

P(Z > 0.81) = 1 - P(X ≤ 0.81) = 1 - P(Z < (0.81-0.8)/0.02) = 1-P(Z<0.5) = 1-Φ(0.5) = 1-0.6915 = 0.3085.

b) La frase “El diámetro se diferencia de su promedio en más de 0.025” se puede expresar matemáticamente como el evento A = {X/ |X - μ| > 0.025}. Y la probabilidad de que ocurra este evento es P(A) = 1- P(-0.025 /le; X - μ ≤ 0.025) de donde

P(A) = 1 - P(-0.025/0.02 ≤ Z ≤ 0.025 / 0.02) = 1 - P(-1.25 ≤ Z ≤ 1.25) = 1 - 2Φ(1.25) = 1-0.7888 = 0.2112

Ejemplo 144

Suponiendo que la duración de los instrumentos electrónicos D1 y D2 tienen distribuciones N(40,36) y N(45, 9), respectivamente. ¿Cuál debe preferirse para usarlo durante un período de 45 horas? ¿Cuál debe preferirse para usarlo durante un período de 48 horas?

Solución

Analicemos un poco los datos: La desviación en el primero es igual a 6 horas(supondremos horas ya que el problema no lo dice) mientras que en el segundo es de 3 horas.

Tanto el período de 45 horas como el de 48, presentan menor diferencia de medición, respecto a su promedio. Al dividir estas diferencias entre la desviación(para obtener Z) tendremos valores z₀ de Z, para los cuales, P(Z < z₀ ) será menor en el segundo tipo de instrumento, con lo cual preferiremos a éste. Bueno y qué tanto de razón tendremos en nuestra “sospecha lógica”? . Observe y analice la siguiente figura.

Analíticamente:

Si D₁ → N(40,36) entonces μ₁ = 40 y σ₁ = 6. Del mismo modo, si D2 → N(45, 9) entonces μ₂ = 45 y σ₂ = 3.

Se debe preferir aquel instrumento cuya probabilidad de duración en el período de 45 ó 48 horas sea mayor. Para averiguarlo, vamos a encontrar P(D₁ < 45 ) y P(D₂ < 45); y lo mismo haremos con el período de 48 horas. Veamos en el caso del período de 45 horas

Como en el primer caso, también aquí debemos preferir al segundo instrumento. Nuestra “sospecha lógica” estaba bien fundamentada.