Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 145

En un examen de suficiencia para ingresar al doctorado se tiene como calificación media la nota de 11 con una desviación igual a 2. Si se desea desaprobar al 40% de los examinados, ¿cuál debe ser la máxima calificación desaprobatoria?

Solución

Sea X la calificación obtenida por un postulante. Según el problema, X → N(11, 4). Por ello μ = 11 y σ = 2. Sea X₀ la calificación máxima para desaprobar el examen. De manera que si X ≤ X₀ el postulante desaprobará y P(X ≤ X₀ ) es la probabilidad de que este evento ocurra.

Si queremos que el 40% desapruebe, entonces debemos hallar el valor de X₀ tal que P(X ≤ X₀ ) = 0.40.

Esto significa que P(X ≤ X₀) = P(Z ≤ (X₀-11)/2) = 0.40. El valor de Z₀ para el cual se tiene un área igual a 0.40 es Z₀ = -0.2575 (recuerde que siendo el área menor a 0.5 el Z que le corresponda será negativo y por otro lado, le rogamos que lea la nota para una adecuada aproximación de Z si la tabla no muestra el área que buscamos).

Continuemos: igualando el valor encontrado con Z₀, tenemos (X₀-11)/2) = -0.2575, de donde X₀ = 10.485.

Luego la máxima calificación que debe considerarse para desaprobar el examen es 10.485

Ejemplo 146

Un ictiólogo esté interesado en estimar cuánto tiempo puede sobrevivir cierto tipo de pez de mar en aguas del río Amazonas. Luego de una serie de experimentos llega a estimar que la vida media de este tipo de peces alcanza los 210 días después de haber sido colocado en el agua del río, con una desviación estándar de 40 días.

El ictiólogo estima que la distribución de los días vividos es normal. Un pez particular ha sobrevivido 230 días, ¿cuál es la probabilidad de que sobreviva más de 240 días?

Solución

Supongamos que X representa “El número de días vida de cierto pez en las aguas del Amazonas”. Por los datos del problema X → N(210,1600), por lo que μ = 210 y σ = 40.

Sea A el evento “Un pez particular ha vivido 230 días” y B, el evento “Que dicho pez sobreviva 240 días”. Por la forma cómo se plantea la pregunta, debemos encontrar P(B/A), ya que es sabido de antemano que dicho pez ha sobrevivido los primeros 230 días.

Ejemplo 147

Un determinado programa del gobierno consiste en construir viviendas en los sectores de mayor densidad de Lima. Para la instalación de las redes de agua y desagüe se están utilizando tuberías en los que el 9.512% de ellos tienen una duración que exceden los 15 años y otra clase de tuberías en los que el 62.556% tienen períodos de duración que exceden los 9 años. Si se considera que la distribución de probabilidades del período de duración de estas tuberías es normal, determine los parámetros de esta distribución.

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como “El período de duración de las tuberías”. De acuerdo a los datos P(X > 15 ) = 0.09512 y P(X > 9 ) = 0.62556. Usaremos estas dos igualdades para obtener dos ecuaciones con μ y σ, y luego proceder a resolverlas; naturalmente para ello, debemos pasar a Z y plantear cada ecuación por normal.