Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 148

El gerente de producción de una fábrica piensa que la vida útil de una máquina M está distribuida normalmente con una media de 3000 horas. Si el gerente piensa además que hay una probabilidad de 0.50 de que la máquina dure menos de 2632 horas ó más de 3368 horas, ¿cuál es la desviación estándar?

Solución

Ejemplo 149

Una empresa comercializadora, dedicado a la industria alimentaria distribuye harina en bolsas que llevan la etiqueta “Contenido neto: 500 Kg”.

La empresa consciente de la dificultad de los consumidores para adquirir bolsas de 500 gramos, está automatizando el llenado de las bolsas de forma que el peso medio de las mismas pueda ajustarse al nivel que se desee, a fin de bajar los precios(retirando previamente la etiqueta). Si la cantidad de harina por bolsa se considera una variable con distribución normal, con una desviación estándar de 0.2 onzas,

a) ¿A qué nivel debe ajustarse el llenado medio de modo que sólo el 0.1% de las bolsas tengan un peso neto inferior a 12 onzas?

b) ¿A qué nivel debe ajustarse el llenado medio de modo que sólo el 5% de las bolsas tengan un peso neto superior a 12.4 onzas?

c) El Gerente de comercialización decide cambiar los parámetros de ajuste si en una muestra de 10 bolsas encuentra más de 2 bolsas con peso inferior a 12 onzas, ¿cuál es la probabilidad de que el Gerente tenga que cambiar los parámetros?

Solución

Sea X la variable definida como “Cantidad de harina por bolsa”. Según el problema X tiene distribución normal N(μ, 0.2). Recuerde que 500 gramos de harina igual a 17.637 onzas.

a) Si se desea que sólo el 0.1% tengan peso inferior a 12 onzas, entonces P(X<12)=0.001. Esto permitirá encontrar el “llenado medio”, μ.

. P(X < 12) = P(Z < (12-μ)/0.2) = Φ(12-μ)/0.2).

Como esto es igual a 0.001, entonces (12-μ)/0.2 = Z_0.001 = -3.01, de donde μ = 12.602. Luego el nivel medio debe ser de 12.6 onzas.

b) Como en el caso a), P(X > 12.4) = 1 - P(Z ≤ (12.4-μ)/0.2) ⇒ Φ( (12.4-μ)/0.2) = 0.95; de donde la media, μ =12.071 onzas. Esto es, el nivel medio por bolsa debe ser de 12.07 onzas.

c) En este caso se elige una muestra de tamaño n = 10. Sea Y la variable aleatoria definida como “Número de bolsas con peso inferiores a 12.4 onzas”. Esta variable tiene distribución Binomial B(n=10, p) donde p = P(X < 12.4) = 0.05. Debemos encontrar P( Y > 2) que será la probabilidad pedida.