Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 150

En una distribución normal hay 40% de valores inferiores a 50 y 30% de valores superiores a 70. Determine el porcentaje de valores entre 55 y 70.

Solución

Sea X la variable definida en el problema con μ y σ² sus parámetros.

Se sabe que P(X<50)=0.50 y P(X> 70 ) = 0.30.

Estas dos igualdades nos permitirán obtener los valores de μ y σ ² para luego encontrar la probabilidad P( 55 ≤ X ≤ 70 ) que es el porcentaje pedido.

P(X < 50) = P(Z < (50-μ)/σ) = 0.40.

De donde obtenemos

Ejemplo 151

Una persona viaja diariamente de su casa a su centro de trabajo, y ha observado que el tiempo que tarda en llegar a su oficina tiene una media &mu; = 35.5 minutos, con una desviación estándar  = 3.11 minutos. Si sale de su casa todos los días a las 8:20 y debe estar en su oficina a las 9:0, ¿cuántos días al año espera llegar tarde? Suponer que el tiempo que tarda de su casa a su oficina sigue una distribución normal y que realiza 240 viajes anualmente.

Solución

Sea X la variable definida como “El tiempo que se tarda la persona en ir de su casa a su oficina”. X → N(35.5, 3.11). Si sale de su casa a las 8:20 y debe estar en su oficina a las 9:0 entonces el tiempo que se tarde en el viaje debe exceder los 40 minutos para llegar tarde. Esto significa que debemos encontrar P(X > 40).

Si ahora definimos a Y como “El número de veces que llega tarde a su oficina al año” , E[Y] será la cantidad de días que espera llegar después de las 9:0.

Como Y sigue una distribución binomial con n = 240 y p es la probabilidad de éxito, entonces E[Y] = np = 240p.

Por lo que será suficiente encontrar el valor de p = P(X < 40).

P(X > 40) = 1 - Φ(1-4471) = '-'75. Con lo cual E[Y] = 240(0.075) = 18

Luego la persona espera llegar tarde a su oficina 18 días durante el año.

Ejemplo 152

Un combustible para cohetes va a contener cierto porcentaje X, de un compuesto particular.

Las especificaciones exigen que X esté entre 30 y 35 por ciento. El fabricante tendrá una utilidad neta en el combustible(por galón) la que está definida según la siguiente función T

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Si X se distribuye normalmente como N(33,9), encuentre la utilidad neta esperada

Supóngase que el fabricante desea aumentar su utilidad neta esperada en 50% aumentando su utilidad por galón en aquellas partidas de combustible que satisfacen las especificaciones 30 < X < 35. ¿Cuál debe ser su utilidad neta?

Solución

Sea X la variable definida como “El porcentaje de cierto componente contenido en el combustible”.

Según a), X → N(33,9) implica que μ = 33 y σ = 3. Si E[T] es la utilidad neta esperada, entonces

que al resolver obtenemos para m = 0.1656, es decir el precio de la ganancia neta en las especificaciones 30 < X < 35 debe elevarse a $ 0.1656 para poder incrementar la utilidad neta esperada en 50%.