Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 153

Los gastos de publicidad que tienen el personal por la introducción en el mercado de un nuevo producto se distribuyen normalmente por semana con una media de $ 950.25 y una desviación de $ 30.35.

El gerente de ventas ha decidido premiar con una bolsa de viajes al personal de mercadeo si los gastos que realiza se encuentran en el 15% inferior. Si uno de los miembros del equipo en particular ha gastado $ 912, conseguirá la bolsa de viaje?

Solución

Definamos a X como “Los gastos semanales realizados en publicidad por un miembro del equipo de mercadeo”. Como X → N(950.25, 30.35²), entonces encontraremos la probabilidad P(X < 912), de manera que si esta probabilidad es menor que 0.15, entonces dicho empleado recibirá la bolsa de viaje.

P(X < 912) = P(Z < (912-950.25)/30.35) = Φ(-1.26) = 0.1038

Esto significa que el empleado recibirá la bolsa de viaje ya que 10.38% < 15%.

Ejemplo 154

El tiempo de vida de un determinado componente en ensamblaje de un carburador de automóvil tiene una distribución normal con media &mu; = 1170 días con una desviación estándar &sigma; = 180 días. El costo de fabricación de cada uno de estos repuestos es de $ 8.0 y se vende en $ 11.0.

El fabricante garantiza la calidad de estos repuestos con la devolución del dinero si dicho repuesto deja de funcionar antes de los 36 meses de uso(un mes tiene 30 días).

Halle la utilidad esperada por cada repuesto

¿Qué cantidad de dinero se espera devolver en un lote de 100 repuestos vendidos?

¿Cuál es la probabilidad de que de un lote de 10 repuestos, a lo más tenga que devolverse el dinero en dos de ellos?

Solución

Sea X la variable definida como la vida útil del repuesto de carburador. Según los datos del problema, X → N(1170, 1802). Si U es la variable que representa la utilidad obtenida por repuesto, entonces

La utilidad esperada será E[U] = 2P(X>1080) – 3P(X<1080). Pasando a Z → N(0,1)

E(U) = 2P(Z > (1080-1170)/180) - 3P(Z > (1080-1170)/180)=2-5Φ(-0.5) = 2-5(0.3085) = 0.4575

Sea A el evento: “Devolver un repuesto que resulta defectuoso”

El evento A ocurre toda vez que el repuesto deja de funcionar antes de los 36 meses. La probabilidad de ocurrencia de A es P(A) = P(X < 1080) = P(Z<-0.5) = 0.3085.

La pregunta es: “¿Qué cantidad de dinero se espera devolver en un lote de 100 repuestos?”. La respuesta es: 5 x Nro. piezas que se espera devolver.

El Nro. de piezas que se espera devolver es 100 x P(A) = 30.85. Por ello, la cantidad de dinero que se espera devolver será 5(30.85) aproximadamente igual a $ 154.25

Para responder a esta pregunta debemos mirar al problema desde la perspectiva de otra variable: Tenemos un lote de 10 repuestos.

Si definimos a Y como el “Número de repuestos devueltos” entonces el evento definido en b) indica que P(A) = 0.3085 es la probabilidad de éxito para Y. Los valores que pueda tomar Y son 0, 1, 2, .., 10.

Como el hecho de que un repuesto sea devuelto o no, es independiente a lo que ocurra con otro, entonces podemos afirmar que Y tiene distribución binomial con B(n, p) en donde n = 10, p = P(A) = 0.3085).

Luego P(Y ≤ 2 ) = p(0) + p(1) + p(2) = 0.691510 + 10(0.3085)(0.6915)9 + 45(0.3085)2(0.6915)8 = 0.36043

Ejemplo 155

El gerente de Crédito de una determinada cadena de tiendas, estimó que los pagos mensuales, desde que asumió la dirección, siguen una distribución normal con un pago promedio de $10,000.0 y una desviación estándar de $ 1,500.0.

El gerente estudia la posibilidad de una tasa de descuento preferencial a sus clientes incentivándolos al pago de sus deudas que consiste en lo siguiente: Hasta el quinto inferior la tasa de descuento será del 3% mensual. Sobre la diferencia, y hasta antes del cuarto superior, la tasa de descuento será del 4% y para el cuarto superior será del 5% mensual.

a) ¿Cuáles son los límites de pago máximo y mínimo para acceder a una tasa de descuento preferencial mensual del 4%?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente logre el máximo descuento para sus pagos?

Solución

a) Sea X la variable definida como “El pago realizado por los clientes de la cadena de tiendas”. El siguiente gráfico nos ayudará en expresar lo que queremos obtener.

Según esto, podemos afirmar que

P(X < L1 ) = 0.20

P(X > L2 ) = 0.25

P(L1< X < L2 ) = 0.55.

Resolviendo por normal la primera ecuación P(X < L1 ) = 0.20 encontramos L1 = 8737; del mismo modo, de P(X > L2 ) = 0.25 encontramos L2 = 11,012.50 b) Puesto que el máximo descuento que se obtiene es $ 11,012.50, entonces el pago que el cliente haga debe estar en el cuarto superior, 0.25; que es justamente lo que se nos pide: P(X >11012.50) = 1 –P(Z < 1012.5/1500) = 1 – P(0.675) = 1-0.75 = 0.25

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