Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 156

Sean X, Y, W, U variables aleatorias independientes tales que X → N(40, 25);

Y → χ² (10); W → χ² (5); U → t(7).

a) Hallar el valor de k tal que:

P[ (X - 40)² > k ] = 0.10

Como X → N(40, 25), al dividir la expresión entre 25 obtenemos

P((X-40)²/40 > k/25) = 0.10     de donde P((X-40)/5)²>k/25) = 0.10

La expresión del primer miembro es Z² lo cual, según la propiedad 2 de χ² se distribuye χ² con un grado de libertad.

Por tanto P(χ² (1) > k/25 ) =.10

De donde P(χ² ≤ k/25 ) = 0.90

Usando el archivo Valor invChi encontramos k = 67.6385

b) Hallar P(k < W + Y < 27.488 ) = 0.95

En este caso las W e Y tienen distribución χ² y como son dos variables, el número de grados es de libertad es 2. Luego P( k < χ² (12) < 27.488 ) = 0.95

Esto significa que F(27.488)-F(k) = 0.95 ⇒ F(k) = 0.974997 – 0.95

De donde k = 6.262. Hemos usado grados de libertad = 5 + 10 = 15

c) Encuentre P( W/Y < k)) = 0.90

Qué variable se genera al dividir dos variables que son χ² ?

Al dividir al numerador entre 5 y al denominador entre 10, logramos construir una nueva variable de la forma: T = (W/5) / (Y/10); según esto, T tiene una distribución F de Fisher; por tanto, logramos obtener una F(5, 10)

d) Hallar k talque P( | U | > k ) = 0.20

P(|U|<= k ) = 0.80 ⇒ P(-k < U < k) = 0.80) ⇒ 2f(k)-1=0.8;     de donde f(k) = 0.9

Ejemplo 157

Si X → χ²(12) resuelva las siguientes preguntas:

P(X ≤ 5)

P(X ≥ 5)

Encuentre el valor de k tal que P(8 ≤ X < k) = 0.95

Solución

Usando la distribución acumulada de la distribución Chi-cuadrado, tenemos

P(X ≤ 5) = F(5) = 0.04202

P(X ≥ 15) = 1 – P(X < 15 ) = 1 – 0.75856 = 0.24146

Como P(8 ≤ X < k ) = F(k) – F(8)

entonces F(k) – F(8) = 0.65 Como F(8) = P(X ≤ 8) = 0.21487

Entonces F(k) – 0.21487 = 0.65

De donde F(k) = 0.86487

Usando el archivo mencionado en a) se puede encontrar el valor de k.

Ejemplo 158

Si X → N(0, 1),     Y → χ²(8)    y R    = X / √(Y/8);     obtenga P(R ≤ 2)

Solución

Observando la propiedad 1 de la distribución t de Student podemos ver que R es un cociente de una N(0, 1) y la raíz de una Chi – cuadrado que está dividida por su grado de libertad; en consecuencia R tiene distribución t(8) y luego P(R ≤ 2) = P(t(8) ≤ 2) = 0.959742