Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Distribución f de Fisher

Sea X una variable aleatoria continua con f su función de densidad de probabilidad. Diremos que X tiene distribución F de Fisher y lo denotaremos por X → F(n, m) con n número de grados de libertad del numerador y m número de grados de libertad del denominador, cuya función de densidad es la siguiente:

donde τ(.) es la función Gamma.

La gráfica de esta distribución se puede apreciar en la siguiente figura

Propiedades

P1. Si X → F(m, n) entonces μ = n /(n-2) y σ = [2n(n+m-2)] /[ m(n-2)²(n-4)], n>4; donde n representa los grados de libertad del numerador y m los grados de libertad del denominador.

Ejemplos usando el programa Excel:

El programa Excel dispone de las siguientes funciones referidas a estas distribuciones continuas.

Ejemplos de aplicación directa:

A continuación presentaremos algunos ejemplos directos que no merecen mayor comentario ni procedimiento:

Para una variable aleatoria X, con distribución Chi-Cuadrado con 15 gl, encuentre:

a) P(X < 3.89)         b) P (X > 12.495 )         c) P( 1.58 < X < 10 )

Rpta: a) 0.0019243         b) 1-0.358759         c) 0.180260 - 0.0000061

Para una distribución Chi-Cuadrado, encuentre el valor de a, en cada caso:

a) P(χ²(8) < a ) = 0.95;       b) P(χ²(10) > a) = 0.5;       c) P( χ²(18) > a) = 0.99

Rpta. a) 15.5073         b) 18.3070         c) 7.01491

Para una variable aleatoria X con distribución t de Student,con 20 grados de libertad, encuentre:

a) P(X < -1.594)         b) P(X > 2.49)        c) P(-1.58 < X < 1)         d)P(|X| >1.89)

Rpta. a) 0.0633089         b) 1-0.989154         c) 0.835372 – 0.0648966         d) 0.07334

Para una distribución t de Student, encuentre el valor de a en cada caso:

a) P(t(10)> a) = 0.025 b)         P( t(15)> a ) = 0.10         c) P(1.476 < t(5) < a) = 0.075

Rpta. a) 2.22814         b) 0.34061         c) F(a) = 0.075 + F(1.476) ; a = 0.81283

Para una variable aleatoria X con distribución F, con 5 grados de libertad en el numerador y 8 grados de libertad en el denominador, encuentre

a) P(X < 2.86)         b) P(X > 0.875)         c) P(0.25 < X < 3.84 )         d) P(| X | < 5)

Rpta. a) 0.909794         b) 1-0.462061         c) 0.95478 – 0.0716954         d) 0.977426

Para una distribución F, encuentre el valor de a, en cada caso:

a) P(F(12,9) < a)= 0.4785         b) P(F(14,16)> a)=0.2475         c) P(a < F(21,19) < 2.5) = 0.9584

Rpta. a) 0.984888         b) 1.42265     c) F(a) = F(2.5) - 0.9584; a = 0.01694

En cada uno de los siguientes casos, hallar la probabilidad correspondiente:

Si X → χ²(17) , hallar a y b tal que P( a< X < b ) = 0.88 y P( X > b ) = 0.02

Sugerencia:

Primero encuentre b, luego resuelva P(a < X < a) = 0.88

Si X → t(9), hallar P(X ≥ 1.1), P(-0.703 ≤ X ≤ 4.297 ) , P( X ≤ -2.398)

Si X → t(6), hallar c tal que P(X > c) = 0.10

Si X → F(4,5), hallar P(X ≥: 5.19 ) ,         P( 3.52 ≤ X ≤ 15.56) ,         P(X ≤ 7.39)

Si X → F(2,3), hallar c de tal manera que P( X ≥ c ) = 0.05

Abra el archivo Grafica de chi-t-F. Observe la forma de la gráfica de cada una de las distribuciones. Modifique el valor de los parámetros de las distribuciones Chi – Cuadrado y t de Student y observe cuándo su comportamiento es aproximadamente normal.

Modifique los valores de los grados de libertad y observe la gráfica resultante. ¿Qué conclusión obtiene si los grados de libertad (directamente relacionados con el tamaño de muestra) se incrementan?.

Tomando en cuenta las gráficas que se muestran en el archivo del ejercicio anterior, ¿cuál de estas distribuciones es simétrica respecto al eje Y?

¿En cuál de estas distribuciones se puede aplicar las siguientes propiedades de la distribución acumulada?:

F(-k) = P(Z ≤ -k ) = P(Z > k) = 1- P(Z ≤ k ) = 1 – F(k)

P(-k ≤ Z ≤ z ) = 2 F(k) -1