Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

4.14 VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

Definición

Sea ζ un experimento aleatorio y Ω el espacio muestral asociado a ζ. Sean también X = X(s) y Y = Y(s) dos funciones que asignan un número real a cada resultado s del experimento, contenido en el espacio muestral; es decir, para cada sS existe un número real x para el cual x = X(s) y también un número real y tal que y = Y(s). Bajo estas consideraciones diremos que (X, Y) recibe el nombre de variable aleatoria bidimensional.

Observaciones

1. En el gráfico podemos apreciar que si Ω es el espacio muestral asociado a ζ, entonces, la variable aleatoria X tomará los valores x1, x2, ... xn .

2. Así como las variables aleatorias X e Y tienen su espacio rango ℜX y ℜY, respectivamente, así también la variable aleatoria bidimensional (X, Y) tiene su espacio rango ℜ (X, Y).

3. El espacio rango de (X, Y), es un conjunto formado por pares ordenados del plano cartesiano.

4. La observación anterior nos sugiere entonces que, si las variables aleatorias X e Y pueden ser discretas o continuas, la variable aleatoria bidimensional (X, Y) también puede ser discreta o continua.

5. Nuevamente remitiéndonos a la observación anterior, en el caso de que (X, Y) sea una variable bidimensional discreta, su espacio rango será un conjunto de retículas (o nodos de una red) del plano cartesiano; en cambio si (X, Y) es una variable continua, su espacio rango será una región continua del plano cartesiano y será una parte del producto de los intervalos [a, b] x [c, d] ∈ R² donde a ≤ X ≤ b y c ≤ Y ≤ d.

Tipos de Variable Aleatoria

Diremos que (X, Y) es una variable aleatoria bidimensional discreta si el conjunto de los valores posibles de la variable es finito o numerablemente infinito. Este conjunto, llamado espacio rango ℜ(X, Y) es un conjunto reticular.

Los valores posibles de (X, Y) pueden ser representados como pares ordenados (xi, yj) para i = 1, 2, ..., n, ... y j = 1, 2, ..., m, ...

Diremos que (X, Y) es una variable aleatoria bidimensional continua si el conjunto de los valores posibles de la variable es un conjunto infinito. Este con junto constituye una región en el plano cartesiano, como se muestra en la siguiente figura

Los valores que la variable aleatoria bidimensional toma, pertenecen a una región ℜ(X, Y) del plano cartesiano tales que ℜ(X, Y) = { (x, y) / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }.

Distribución de probabilidad para (X, Y)

Caso 1: variable aleatoria bidimensional discreta

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional discreta, con ℜ(X, Y) su espacio rango. Si p(xi, yj) es una función tal que a cada par (xi, yj) le asigna el número real P(X = xi, Y = yj) diremos entonces que p(xi, yj) es función de probabilidad conjunta de (X, Y), siempre que cumpla las siguientes condiciones:

Observaciones

p(xi, yj) = P(X = xi, Y = yj) es la probabilidad de que ocurra el evento compuesto { X = xi , Y = yj } i = 1, 2, 3, ..., n, ... ; j = 1, 2, 3, ..., m, ...

La gráfica de la función de probabilidad de (X, Y), como en el caso unidimensional, son barras verticales al valor de la variable.

Como en este caso el espacio rango es un espacio reticulado, el valor de probabilidad para un valor de la variable será una barra perpendicular en el nodo correspondiente, como se puede apreciar en la siguiente figura.

La función de probabilidad conjunta de (X, Y) se presenta, por lo general, en forma de un cuadro de distribución de doble entrada. Los valores de las variables X e Y se colocan en las primeras filas o columnas y en el centro del mismo, el valor de sus respectivas probabilidades, como se muestra en la siguiente figura

La distribución acumulada en el caso discreto

 

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