Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 162

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional cuya función de probabilidad conjunta viene dado en el siguiente cuadro.

X \ Y 0 1 2 3 4
0 0.01 0.11 0.0 0.10 0.05
1 0.12 0.01 0.12 0.04 0.01
2 0.09 0.08 0.0 0.12 0.03
3 0.01 0.05 0.02 0.0 0.03

Encuentre las siguientes probabilidades:

a) p(0, 3)         b) P(X<3, Y = 2)         c) P(X > 0, Y ≥ 2)

d) P(X = 2)         e) P( Y = 2)

Solución

a) p(0, 3) = P(X = 0, Y = 3) = 0.01

b) P(X<3, Y = 2) es la suma de todas las probabilidades conjuntas cuando la variable X toma valores X = 0, 1 y 2; mientras que Y toma valores Y = 2; es decir que P(X<3, Y = 2) = p(0, 2) + p(1, 2) + p(2, 2) = 0.09 + 0.08 + 0.00 = 0.17

c) En este caso es más cómodo usar complementos:

P(X>0, Y ≥ 2) = p(1,2) + p(1,3) + p(2,2) + p(2,3) + p(3,2) +...+ p(4,3) = 0.33

d) P(X = 2) es la probabilidad de que ocurra el evento { X = 2 }. Pero este evento ocurre cuando Y = 1; también ocurre cuando Y = 2 o cuando Y = 5 o Y = 9; por lo que, P(X = 2) = 0.0 + 0.12 + 0.0 + 0.02 = 0.14

e) Del mismo modo, P(Y = 2 ) = 0.09 + 0.08 + 0.0 + 0.12 + 0.03 = 0.32. Aquí también cuando Y = 2, la variable X toma todos los valores de su recorrido: 0, 1, 2, 3, 4.

Ejemplo 163

Una urna contiene 3 bolas numeradas 1, 2, 3, respectivamente. De la urna se extraen dos bolas, una después de otra, sin reposición. Sea X el número de la primera bola extraída y Yel número de la segunda bola. Hallar la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y).

X \ Y 1 2 3
1 0.0 1/6 1/6
2 1/6 0.0 1/6
3 1/6 1/6 0.0

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como “El número de la primera bola extraída”.

Sea Y la variable aleatoria definida como “El número de la segunda bola extraída”.

Según esto: X = 1, 2, 3; Y = 1, 2, 3. Por lo que el espacio rango de (X, Y) es el conjunto {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) }.

Hallemos cada una de las probabilidades individuales

p(1, 1) = 0; es decir, es imposible que ocurra el evento X = 1, Y = 1, sin reposición.

Del mismo modo, p(2, 2) = 0 y p(3, 3) = 0, por ser eventos imposibles

p(1, 2) = 1/6         p(1, 3) = 1/6         p(2, 1) = 1/6, ....         p(3, 2) = 1/6

 

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