Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 164

Suponga que tres objetos no diferenciables se distribuyen al azar en tres celdas numeradas. Sea X el número de celdas vacías e Y el número de objetos colocados en la primera celda. Construya la tabla de distribución de probabilidad conjunta de (X, Y).

Solución

Si X es la variable definida como “El número de celdas vacías” y Y se define como “El número de objetos colocados en la primera celda” entonces X = 0, 1, 2 y Y = 0, 1, 2, 3.

Puesto que 0, 1, 2 ó los 3 objetos pueden caer en cualquiera de las tres celdas, y del mismo modo, cualquier celda puede contener 0, 1, 2 ó los tres objetos, el número de casos posibles será 3³ = 27. Debemos hallar el número de casos favorables en cada caso.

p(0, 0) = P(X=0, Y=0). Significa que hay 0 celdas vacías y hay 0 objetos en la primera. Esto es imposible por lo que p(0, 0) = 0.

p(0, 1) = P(X=0, Y=1). Significa que todas las celdas están ocupadas y que la primera tiene un objeto. El esquema siguiente muestra las diversas situaciones que puede presentarse:

La primera celda puede ser ocupada por cualquiera de los tres objetos, la segunda por dos de ellos y la tercera sólo por uno. Esto es P(3, 3) = 6.

Por ello p(0, 1) = 6/27

p(0, 2) = P(X=0, Y=2) significa que hay cero celdas vacías y que la primera contiene dos objetos.

Esto es imposible por ello p(0, 2) = 0.

p(0, 3) = P(X = 0, Y = 3) = 0, por la misma razón

p(1, 0) = P(X = 1, Y = 0) significa que la hay una celda vacía y que la primera debe tener 0 objetos. En este caso los objetos deben repartirse en las dos celdas, por ello p(1, 0) = 6/27

p(1, 1) = P(X = 1, Y=1) significa que debe haber una celda vacía y la primera debe contener un objeto.

Como la primera debe contener un objeto, hay dos posibilidades de tener una celda vacía. Puesto que la primera celda puede ser ocupada de 3 formas diferentes, el número de maneras de obtener un objeto en la primera y una de las restantes vacías, es 3 x 2, por ello p(1,1) = 6/27.

Encontremos ahora p(1,2) = P(X = 1,Y = 2).

El razonamiento es similar a p(1,1) excepto que la celda con 0 objetos puede ser cualquiera de las restantes p(1,2) = 6/27.

p(1,3) = P( X = 1, Y = 3) este es un evento imposible por lo que p(1, 3) = 0.

p(2, 0) = P(X =2, Y = 0) . Esto significa que debe haber 2 celdas vacías y la primera debe contener 0 objetos. Como la primera ya está vacía, la segunda vacía puede ser la segunda celda o la tercera: dos posibilidades; por ello p(2, 0) = 2/27

p(2,1)=P(X = 2, Y = 1). Dos celdas vacías y la primera con un objeto es p(2, 1) = 0

p(2,2) = P(X =2,Y = 2) Igualmente p(2, 2) = 0

p(2,3) = P(X =2, Y =3) = 1/27. Si tiene sentido. Los tres objetos están en la primera.