Unidad 4. VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ()

Ejemplo 165

Se elige aleatoriamente uno de los números enteros 1, 2, 3, 4, 5. Después de eliminar todos los números enteros menores que el elegido(si hubiera), se elige uno de los restantes. Sean X e Y los números elegidos en la primera y segunda elección, respectivamente.

Determine la distribución de probabilidad conjunta de X e Y y calcule P(X + Y > 7) y P(Y – X > 0

Solución

Definamos a X como “El número elegido en la primera vez” e Y, “El número elegido en la segunda vez”.

Veamos un ejemplo de cómo se realiza el experimento:

Supongamos que en la primera elección se elige al dígito 3. Según el problema, se debe eliminar los dígitos 1 y 2, que son menores que el elegido, 3. La segunda elección se hace teniendo disponibles los dígitos 3, 4 y 5. Esto quiere decir que los valores que tomará X son: 1, 2, 3, 4, 5. Los valores que pueda tomar Y son 1, 2, 3, 4, 5.

Encontremos las probabilidades individuales.

Antes de empezar, debemos tomar en cuenta que la primera elección se hace de un total de 5 por lo que la probabilidad de elegir cualquier dígito la primera vez siempre es 1/5.

La probabilidad de elegir el segundo número es 1/(5-k) donde k es el número de dígitos eliminados. Esto quiere decir que p(x, y) = 1/5 (1/(5-k))   y k: 0, 1, 2, 3, 4 representa el número de dígitos eliminados después de la primera elección.

La distribución de probabilidad en detalle se da en el siguiente cuadro.

Calculemos ahora las probabilidades pedidas

P(X+Y > 7 ): Los únicos pares que cumplen la condición X + Y > 7 es el conjunto B definido como B = {(x, y) / x + y > 7} = { p(3, 5), p(4, 4), p(4, 5), p(5, 3), p(5, 4), p(5, 5)}.

Luego P(B) = 19/30.

Del mismo modo, si A = {(x, y)/ y – x > 0 } entonces P(A) = 163/300

Caso 2: Variable aleatoria bidimensional continua

Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional continua, con &real:_{(X, Y)} ⊆ R² su espacio rango. Diremos que f(x, y) es una función de densidad de probabilidad conjunta de (X, Y), siempre que f cumpla las siguientes condiciones:

Observaciones De manera simplificada fdpc significará “función de densidad de probabilidad conjunta” Sin duda el intervalo al que correspondan X e Y será -∞< X < +∞ y -∞< Y < +∞.

En particular, X pertenecerá al intervalo (a, b) tal que a ≤ X ≤ b. Del mismo modo, Y pertenecerá al intervalo (c, d) tal que c ≤ Y ≤ d. La gráfica de la función f determina una superficie en el espacio, como se muestra en la siguiente figura.

Eventos equivalentes

En la idea de simplificar el trabajo, daremos el concepto de eventos equivalentes como una observación. Si recordamos de las variables unidimensionales, la existencia de eventos equivalentes fue necesaria para la expansión de la teoría de probabilidades al espacio rango de X.

La existencia de eventos equivalentes es la bisagra que nos permite hablar de probabilidades de eventos definidos, en este caso por la ocurrencia conjunta de las variables X e Y.

Puesto que en la definición (X, Y) es una función que permite asignar valores (x,y) reales a elementos s del espacio muestral Ω entonces podemos definir la existencia de un evento A ⊆ Ω para el cual exista un evento B ⊆ ℜ_{(X, Y)}, tales que B = {(x,y) / (x,y) ∈ℜ_{(X, Y)} } donde A = {s / (X(s), Y(s) ) ∈ B }. Según esto, los eventos A y B son eventos equivalentes.

Por ello P(B) = P(A), como se muestra en el esquema de la figura anterior.

De acuerdo a la observación anterior, la probabilidad de que ocurra el evento B, definido como B = {(x,y)/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } es igual a

representa el área de una superficie sobre el plano cartesiano. En el caso bidimensional la probabilidad P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) geométricamente representa el volumen de una superficie en el espacio y definida por la gráfica de la curva f(x,y) y limitada por los intervalos a ≤ X ≤ b , c ≤ Y ≤ d y en el plano XY por la región ℜ_{(X, Y)}.