Ejemplo 10
En una determinada prueba se supone que las calificaciones se distribuyen normalmente con un promedio de 80 puntos y desviación estándar de 10 puntos. Si mañana se debe aplicar una prueba de aptitud a 12 aspirantes:
a) ¿Cuál sería la probabilidad de que la desviación estándar de las calificaciones se dichos aspirantes sea mayor que 15 puntos?
b) ¿Cuál debería ser el mínimo valor de la desviación estándar de las calificaciones de dichos aspirantes con una probabilidad de 0.95?
Solución
Primero extraeremos los datos:
Sea X: La calificación obtenida por un aspirante
Según el problema: X → N(80, 100)
n = 12; σ = 10
a) Se pide evaluar P(s > 15)
Transformando hacia una Chi-cuadrado, lo que está dentro de los paréntesis: P(s>15)= p(s2 > 225)=1-P(s2 ≤ 225)=1-P(χ2(11) ≤ (11(225))/100) = 0.0099
b) Supongamos que K es el valor mínimo que debe tomar la desviación estándar de las calificaciones, tal que la probabilidad de que esto ocurra sea 0.95. Esto significa que P(s ≥ K) = 0.95; de donde P(s < K ) = 0.05
Procedamos como antes
P(s < K ) = P(χ2(11) ≤ 0.11K2) = 0.05
En este punto debemos usar el procedimiento de la inversa en Chi - Cuadrado; pero como MS Excel no tiene esta herramienta, disponemos de un libro que contiene los valores de la Chi-Cuadrado para un determinado valor de los grados de libertad y una determinada probabilidad.
Es suficiente abrir el libro ValorInv ChiCuadrado y luego ejecutar una macro usando el método abreviado: [Ctrl]+i.
Completar los datos en el formulario que se activa y presionar [Enter] o hacer clic en [Aceptar]. Cuando desee terminar, simplemente haga clic en [Aceptar].
Según esto el valor obtenido es 4.5748; con lo cual tendremos:
0.11K2 = 4.5748, despejando K, obtenemos K = 6.449.
Nota:
No se olvide de usar el archivo ValorInv ChiCuadrado toda vez que necesite obtener el valor de Chi – cuadrado para una determinada probabilidad y un determinado grado de libertad.
Ejemplo 11
Se sabe que el tiempo que necesita un cajero en la ventanilla de un banco para atender a un cliente es una variable aleatoria normal con = 1.5 minutos. Este cajero es observado en la atención de 25 clientes seleccionados al azar.
a) Determine la media y la varianza de s² (varianza muestral)
b) Qué valor máximo tomará la desviación muestral, con probabilidad 0.975?
Solución
Sea X: Tiempo necesario para atender a un cliente
Recordemos que s2= (∑(Xi - )2/(n-1) .
De esta ecuación, podemos despejar la sumatoria y tener ∑(Xi - )2 =(n-1)s2
a) Hallaremos primero la media o valor esperado de s2.
b) Si K representa el valor máximo que toma la desviación estándar de la muestra, entonces se tiene que P(s ≤ K) = 0.975
Como ya hemos visto, P(s ≤ K)= P(s2 ≤ K2 )=P(χ2(n-1) ≤ ((n-1) K2)/σ2 )= 0.975
Reemplazando valores n y σ2 y simplificando, tenemos P(χ2(24) ≤ 10.67K2 )= 0.975
Para hallar el valor de K abriremos el archivo ValorInv ChiCuadrado,
Ejecutamos la macro usando el método abreviado: [Ctrl]+i
Digitamos los grados de libertad 24 y la probabilidad 0.975 y obtenemos 39.439
Y despejando K de 10.67K2 = 39.439 encontramos K = 1.9226.
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