Unidad 5. DISTRIBUCIONES MUESTRALES (XI)

Ejemplo 12

Una máquina embotelladora puede regularse de tal manera que llene un promedio de  onzas por botella. Se ha observado que las onzas de contenido que vacía la máquina embotelladora tiene una distribución normal con  = 1 onzas.

Supóngase que se selecciona una muestra aleatoria de 10 botellas y se mide el contenido de cada botella. Usando las 10 observaciones hallar los números b₁ y b₂ tales que P(b₁ ≤ s ² ≤ b₂ ) = 0.9.

(Sugerencia: Suponga que el 90% se encuentra en la parte central de la distribución a usar).

Solución

Dado P(b₁1 ≤ s ² ≤ b₂ ) = 0.9, para encontrar los extremos por Chi-Cuadrado, debemos realizar la transformación de s² hacia una variable Chi.Cuadrado.

P(b₁ ≤ s² ≤ b₂ ) = P(9b₁/1 ≤ ((n-1) s²)/σ² ≤ 9 b₂/1)= P(9b1 ≤ χ² (9) ≤ 9 b₂)= 0.90

Según sabemos: P(χ² (9) ≤ 9b₁ )=0.05 y P( χ²(9) ≤ 9b₂ )=0.95

Usando [Ctrl]+i en el archivo mencionado en el ejemplo anterior hallaremos 9b₁ = 3.325 de de donde b₁ = 0.3694

Del mismo modo, 9b₂ = 16.918 de donde b₂ = 1.8798

Valores Chi-Cuadrado se muestra en el siguiente gráfico

Ejemplo 13

AirCon S.A. desea adquirir dispositivos electrónicos en el cual la varianza de las resistencias no debe exceder los 0.40 ohmios². Para evitar la aceptación de remesas que no cumplen con esta especificación, el departamento de control de calidad toma una muestra aleatoria de 25 componentes de cada remesa y mide la resistencia de cada uno.

Si la varianza de la muestra es demasiado grande, el departamento rechaza el pedido. Se considera que una varianza muestral es demasiado grande si la probabilidad de que ocurra esto es superior a 0.02. Se acaba de seleccionar una muestra de una remesa y se obtiene s² = 0.75. Debe aceptarse la remesa?

Solución

De acuerdo al problema: n = 25; σ² = 0.40; s² = 0.75

Si P(s² > 0.75) > 0.02 entonces se debe rechazar la remesa.

P(s² > 0.75)= 1 - P(χ²(24) ≤ 24(0.75)/0.4) = 1 - P(χ² (24) ≤ 45)=0.005875

Puesto que la probabilidad es inferior a 0.02, se debe aceptar la remesa.